Dados dos círculos con el mismo centro, inscribir en el círculo mayor un polígono equilátero y de un número par de lados que no toque al círculo menor.
Sean ABCD, EFGH los dos círculos con el mismo centro K . Así pues, hay que inscribir en el círculo mayor ABCD un polígono equilátero y con un número par de lados que no toque al círculo EFGH.
Trácese, pues, por el centro K, la recta BKD , y trácese, por el punto G, la recta GA formando ángulos rectos con la recta BD y prolónguese hasta el punto C ; entonces AC toca el círculo EFGH [Cor. Prop. III.16]. Ahora, si dividimos en dos partes iguales la circunferencia BAD, y su mitad en dos partes iguales, y procedemos así sucesivamente, dejaremos una circunferencia menor que AD; déjese y sea LD ; trácese, de L a BD, la perpendicular LM y prolónguese hasta N , y trácense LD, DN ; entonces LD es igual a DN [Prop. III.3; Prop. I.4]. Y como LN es paralela a AC y AC toca el círculo EFGH, entonces, LN no toca el círculo EFGH; luego LD, DN están lejos de tocar el círculo EFGH. Ahora, si adaptamos sucesivamente rectas iguales a LD al círculo ABCD inscribiremos en el círculo ABCD un polígono equilátero y de un número par de lados que no toque el círculo menor EFGH.
Q. E. F.