Si en un circulo una recta trazada a través del centro divide en dos partes iguales a otra recta no trazada a través del centro, la corta formando también ángulos rectos; y si la corta formando ángulos rectos, la divide también en dos partes iguales.
Sea ΑΒC el círculo ,
y en él una recta CD trazada a través del centro
divida en dos partes iguales a otra recta ΑΒ no trazada a través del centro, por el punto F.
Digo que también la corta formando ángulos rectos.
Tómese, pues, el centro del círculo ΑΒC y sea Ε ,
y trácense ΕΑ, ΕΒ .
Ahora bien, como ΑF es igual a FΒ y FΕ es común, los dos lados son iguales a los dos lados.
Y la base es igual a la base ΕΒ; por tanto, el ángulo ΑFΕ es igual al ángulo ΒFΕ [Prop. I.8]. Pero cuando una recta levantada sobre otra recta hace los ángulos adyacentes iguales entre sí,
cada uno de los ángulos iguales es recto [Def. I.10]; por tanto, cada uno de los ángulos ΑFΕ, ΒFΕ es recto. Luego CD trazada a través del centro dividiendo en dos partes
iguales a ΑΒ no trazada a través del centro, la corta también formando ángulos rectos.
Pero ahora corte CD a ΑΒ formando ángulos rectos.
Digo que también la divide en dos partes iguales, es decir, que ΑF es igual a FΒ.
Pues siguiendo la misma construcción, como ΕΑ es igual a ΕΒ, el ángulo ΕΑF es también igual al ángulo ΕΒF [Prop. I.5]. Pero el ángulo recto ΑFΕ es igual al ángulo recto ΒFΕ;
por tanto, ΕΑF, ΕFΒ son dos triángulos que tienen dos ángulos iguales a dos ángulos, y un lado igual a un lado, el común a ambos ΕF, que subtiende a uno de los ángulos iguales;
luego tendrá también los lados restantes iguales a los lados restantes [Prop. I.26]; así pues, ΑF es igual a FΒ.
Por consiguiente, si en un círculo una recta trazada a través del centro divide en dos partes iguales a otra recta no trazada a través del centro, la corta también formando ángulos rectos; y si la corta formando ángulos rectos, la divide también en dos partes iguales.
Q. E. D.