Si se toma un punto exterior a un círculo y del punto al círculo se trazan algunas rectas, una de las cuales pasa por el centro y las demás al azar, de las rectas que caen en la parte cóncava de la circunferencia, la mayor es la que pasa por el centro, y de las demás siempre la más
cercana a la que pasa por el centro es mayor a la más lejana; pero de las que caen en la parte convexa de la circunferencia la menor es la que está entre el punto y el diámetro, y de las demás la más cercana a la más pequeña es siempre menor que la más lejana, y solo caerán dos iguales del punto al circulo a uno y otro lado de la más pequeña.
Sea ΑΒC el círculo ,
y tómese un punto D exterior a ΑΒC ,
y a partir de él trácense algunas rectas DΑ, DΕ, DF, DC, y sea DΑ la que pasa por el centro
.
Digo que las rectas que caen en la parte cóncava de la circunferencia ΑΕFC, la mayor es DΑ, que pasa por el centro, y DΕ es mayor que DF, y DF que DC,
pero de las rectas que caen en la parte convexa de la circunferencia HLΚG, la menor es DG que está entre el punto y el diámetro ΑG, y siempre la más cercana
a la menor DG es menor que la más lejana, DΚ menor que DL, y DL menor que DH.
Tómese, pues, el centro del círculo ΑΒC [Prop. III.1] y sea Μ
;
y trácense ΜΕ, ΜF, ΜC, ΜΚ, ΜL, ΜH .
Y como ΑΜ es igual a ΕΜ, añádase a ambas ΜD; entonces ΑD es igual a ΕΜ, ΜD. Pero ΕΜ, ΜD son mayores que ΕD [Prop. I.20];
entonces ΑD es también mayor que ΕD. Como, a su vez, ΜΕ es igual a ΜF, y ΜD es común, entonces ΕΜ, ΜD son iguales a FΜ, ΜD; y el ángulo ΕΜD es mayor que el ángulo FΜD.
Por tanto, la base ΕD es mayor que la base FD [Prop. I.24], De manera semejante demostraríamos que FD es también mayor que CD; por tanto,
la mayor es DΑ, mientras que DΕ es mayor que DF, y DF, que DC.
Y como ΜΚ, ΚD son mayores que ΜD [Prop. I.20], mientras que ΜG es igual a ΜΚ, entonces la restante ΚD es mayor que la restante GD; de modo que GD es menor que ΚD; y como sobre
uno de los lados ΜD del triángulo ΜLD se han construido dos rectas ΜΚ, ΚD que se encuentran en su interior, entonces ΜΚ, ΚD son menores que ΜL, LD [Prop. I.21];
pero ΜΚ es igual a ΜD; por tanto, la restante DΚ es menor que la restante DL. De manera semejante demostraríamos que DL es también menor que DH; por tanto, DG es la menor,
mientras que DΚ es menor que DL, y DD que DH.
Digo también que solo dos rectas iguales caerán del punto D al círculo a uno y otro lado de la menor DG.
Constrúyase en la recta ΜD y en su punto Μ el ángulo DΜΒ igual al ángulo ΚΜD y trácese DΒ
. Y como ΜΚ es igual a ΜΒ, y ΜD común, los dos lados ΚΜ, ΜD son iguales a los dos lados ΒΜ, ΜD,
respectivamente; y el ángulo ΚΜD es igual al ángulo ΒΜD; por tanto, la base DΚ es igual a la base DΒ [Prop. I.4].
Digo que no caerá otra recta igual a la recta DΚ hasta el círculo desde el punto D.
Pues, si fuera posible, caiga y sea DΝ . Así pues, como DΚ es igual a DΝ, mientras que DΚ es igual a DΒ, entonces DΒ también es igual a DΝ, la más cercana a la menor DG
igual a la más lejana; lo cual se ha demostrado que es imposible. Por tanto, no caerán más de dos rectas iguales desde el punto D hasta el círculo ΑΒC a uno y otro lado de la menor DG.
Por consiguiente, si se toma un punto exterior a un círculo y del punto al círculo se trazan algunas rectas, de las cuales una pasa por el centro y las demás al azar,
de las rectas que caen en la parte cóncava de la circunferencia, la mayor es la que pasa por el centro, y de las demás
siempre la más cercana a la que pasa por el centro es mayor que la más lejana; pero de las rectas que caen en la parte convexa de la circunferencia, la menor es la que está entre el punto y el diámetro, y de las demás, la más cercana a la más pequeña es siempre menor que la más lejana, y solo caerán dos rectas iguales del punto al círculo a uno y otro lado de la más pequeña.
Q. E. D.