Si una recta toca un círculo, y desde el punto de contacto hasta el círculo se traza una recta que corte el círculo, los ángulos que forma con la recta tangente serán iguales a los ángulos en los segmentos alternos del círculo.
Toque, pues, la recta ΕF
al círculo ΑΒCD en el punto Β ,
y a partir del punto Β trácese una recta ΒD en el círculo ΑΒCD que lo corte .
Digo que los ángulos que forma ΒD con la tangente ΕF serán iguales a los ángulos en los segmentos alternos del círculo, es decir, que el ángulo FΒD es igual al ángulo construido en el
segmento ΒΑD, y el ángulo ΕΒD es igual al ángulo construido en el segmento DCΒ.
Trácese, pues, a partir de Β la recta ΒΑ formando ángulos rectos con ΕF ,
y tómese al azar un punto C en la circunferencia ΒD,
y trácense ΑD, DC, CΒ .
Y como una recta ΕF es tangente al círculo ΑΒCD en el punto B, y desde el punto de contacto se ha trazado ΒΑ formando ángulos rectos con la tangente, entonces el centro del
círculo ΑΒCD está en ΒΑ [Prop. III.19]. Por tanto, ΒΑ es diámetro del círculo ΑΒCD; luego el ángulo ΑDΒ, siendo un ángulo en un semicírculo, es recto
[Prop. III.31]. Por tanto, los
ángulos restantes ΒΑD, ΑΒD son iguales a un recto [Prop. I.32], Pero el ángulo ΑΒF es recto; por tanto, el ángulo ΑΒF es igual a los ángulos ΒΑD, ΑΒD. Quítese de ambos el ángulo ΑΒD;
entonces el ángulo restante DΒF es igual al ángulo ΒΑD en el segmento alterno del círculo. Asimismo, como ΑΒCD es un cuadrilátero en un círculo, sus ángulos opuestos son iguales a
dos rectos [Prop. III.22], Pero los ángulos DΒF, DΒΕ son también iguales a dos rectos; luego los ángulos DΒF, DΒΕ son iguales a los ángulos ΒΑD, ΒCD, de los cuales el ángulo ΒΑD se ha
demostrado que es igual al ángulo DΒF; por tanto, el ángulo DΒΕ es igual al ángulo DCΒ en el segmento alterno del círculo DCΒ.
Por consiguiente, si una recta toca un círculo y desde el punto de contacto hasta el círculo se traza una recta que corte el círculo, los ángulos que forma con la recta tangente serán iguales a los ángulos en los segmentos alternos del círculo.
Q. E. D.