En los círculos iguales los ángulos iguales están sobre circunferencias iguales, ya estén en los centros o en las circunferencias.

Sean ΑΒC Paso 1, DΕF Paso 2 círculos iguales y estén en ellos los ángulos iguales ΒGC Paso 3, ΕHF Paso 4 en los centros, y en las circunferencias los ángulos iguales ΒΑC Paso 5, ΕDF Paso 6. Digo que la circunferencia ΒΚC es igual a la circunferencia ΕLF.

Trácense, pues, ΒC type="button" class="btn btn-outline-primary btn-sm" onclick="pasoapaso(7)">Paso 7, ΕF type="button" class="btn btn-outline-primary btn-sm" onclick="pasoapaso(8)">Paso 8. Y como los círculos ΑΒC, DΕF son iguales, los radios son iguales; entonces las dos rectas ΒG, GC son iguales a las dos rectas ΕH, HF; y el ángulo correspondiente a G es igual al ángulo correspondiente a H; por tanto, la base ΒC es igual a la base ΕF [Prop. I.4]. Y como el ángulo correspondiente a A es también igual al ángulo correspondiente a D, entonces el segmento ΒΑC es semejante al segmento ΕDF [Def. III.11][Prop. I.8]; y están sobre rectas iguales [ΒC, ΕF]; ahora bien, los segmentos circulares semejantes que están sobre rectas iguales son iguales entre sí [Prop. III.24]; por tanto, el segmento ΒΑC es igual al segmento ΕDF. Pero el círculo entero ΑΒC es igual al círculo entero DΕF; Por tanto, la circunferencia restante ΒΚC es igual a la circunferencia ΕLF.

Por consiguiente, en los círculos iguales los ángulos iguales están sobre circunferencias iguales, ya estén en los centros o en las circunferencias.

Q. E. D.