En los círculos iguales, los ángulos que están sobre circunferencias iguales son iguales entre sí, ya estén en los centros o en las circunferencias.
Estén, pues, en los círculos iguales ΑΒC ,
DΕF , sobre las circunferencias iguales ΒC, ΕF,
los ángulos ΒGC , ΕHF ,
en los centros G, H, y en las circunferencias los ángulos ΒΑC ,
ΕDF .
Digo que el ángulo ΒGC es igual al ángulo ΕHF, y el ángulo ΒΑC es igual al ángulo ΕDF.
Pues si el ángulo ΒGC no es igual al ángulo ΕHF, uno de ellos es mayor. Sea mayor el ángulo ΒGC, y constrúyase en la recta ΒG y en su punto G el ángulo ΒGΚ
igual al ángulo ΕHF [Prop. I.23];
pero los ángulos iguales están sobre circunferencias iguales cuando están en los centros [Prop. III.26]; por tanto, la circunferencia ΒΚ es igual a la circunferencia ΕF. Pero ΕF es igual a ΒC;
entonces ΒΚ es también igual a ΒC, la menor a la mayor; lo cual es imposible. Por tanto, los ángulos ΒGC, ΕHF no son desiguales; luego son iguales y el ángulo correspondiente a A
es la mitad del ángulo ΒGC, y el correspondiente a D la mitad del ángulo ΕHF [Prop. III.20]; por tanto, el ángulo correspondiente a Α es también igual al correspondiente a D.
Por consiguiente, en los círculos iguales los ángulos que están sobre circunferencias iguales son iguales entre sí, ya estén en los centros o en las circunferencias.
Q. E. D.