Los ángulos opuestos de los cuadriláteros en los círculos son iguales a dos rectos.
Sea el círculo ΑΒCD ,
y sea el cuadrilátero en el mismo ΑΒCD .
Digo que los ángulos opuestos son iguales a dos rectos.
Trácense ΑC, ΒD .
Así pues, como en todo triángulo los tres ángulos son iguales a dos rectos [Prop. I.32], entonces los tres ángulos CΑΒ, ΑΒC, ΒCΑ del triángulo ΑΒC son iguales a dos rectos.
Pero el ángulo CΑΒ es igual al ángulo ΒDC: porque están en el mismo segmento ΒΑDC [Prop. III.21]; y el ángulo ΑCΒ es igual al ángulo ΑDΒ: porque están en el mismo segmento ΑDCΒ; por tanto, el ángulo entero ΑDC es igual a los ángulos ΒΑC,ΑCΒ. Añádase a ambos el ángulo ΑΒC; entonces los ángulos ΑΒC, ΒΑC, ΑCΒ son iguales a los ángulos ΑΒC, ΑDC; pero los ángulos ΑΒC, ΒΑC, ΑCΒ son iguales a dos rectos. Por tanto, los ángulos ΑΒC, ΑDC son también iguales a dos rectos. De manera semejante demostraríamos que los ángulos ΒΑD, DCΒ son también iguales a dos rectos.
Por consiguiente, los ángulos opuestos de los cuadriláteros en los círculos son iguales a dos rectos.
Q. E. D.