Un círculo no corta a otro círculo en más de dos puntos.
Pues, si fuera posible, corte el círculo ΑΒC
al círculo DΕF
en más de dos puntos: Β, G, F, H ,
y, una vez trazadas ΒH, ΒG divídanse en dos partes iguales en
los puntos Κ, L ,
y a partir de Κ, L trácense las rectas ΚC, LΜ formando ángulos rectos con ΒH, ΒG y prolónguense hasta los puntos Α, Ε .
Así pues, como en el círculo ΑΒC, una recta ΑC divide en dos partes iguales a otra recta ΒH formando ángulos rectos, entonces el centro del círculo ΑΒC está en ΑC
[Cor. Prop. III.1]. Como, a su vez, en el mismo círculo ΑΒC una recta ΝO divide en dos partes iguales a otra recta ΒG formando ángulos rectos,
entonces el centro del círculo ΑΒC
está en ΝO. Pero se ha demostrado que está también en ΑC, y en ningún otro punto se encuentran las rectas ΑC, ΝO salvo en el punto P. Por tanto, el punto P es el
centro del círculo ΑΒC. De esta misma manera demostraríamos que también el centro del círculo DΕF es P; por tanto, el mismo punto P es el centro de los dos círculos
que se cortan ΑΒC, DΕF; lo cual es imposible [Prop. III.5].
Por consiguiente, un círculo no corta a otro círculo en más de dos puntos.
Q. E. D.