Si se toma un punto en el diámetro de un círculo que no sea el centro del círculo y desde él hasta el círculo caen algunas rectas, será la mayor aquella en la que está el centro, y la menor la restante y de las demás la más cercana a la que pasa por el centro es siempre mayor que la más lejana, y solo caerán dos iguales del punto al círculo a uno y otro lado de la más pequeña.

Sea ΑΒCD el círculo Paso 1, y sea su diámetro ΑD Paso 2, y tómese sobre ΑD un punto F Paso 3, que no sea el centro del círculo, y sea el centro del círculo Ε Paso 4, y desde F hasta el círculo ΑΒCD caigan algunas rectas: FΒ, FC, FG Paso 5. Digo que la mayor es FΑ, la menor FD, y de las demás FΒ mayor que FC, y FC que FG.

Trácese, pues, ΒΕ, CΕ, GΕ Paso 6. Y como en todo triángulo dos lados son mayores que el restante [Prop. I.20], entonces los lados ΕΒ, ΕF son mayores que ΒF. Pero ΑΕ es igual a ΒΕ; por tanto, ΑF es mayor que ΒF. Como ΒΕ es a su vez igual a CΕ, y FΕ es común, los dos lados ΒΕ, ΕF son iguales a los dos lados CΕ, ΕF. Ahora bien, el ángulo ΒΕF también es mayor que el ángulo CΕF. Luego la base BF es mayor que la base CF [Prop. I.24], Por lo mismo, CF es también mayor que FG. Como, a su vez, los lados GF, FΕ son mayores que ΕG y ΕG es igual a ΕD, entonces los lados GF, FΕ son mayores que ΕD. Quítese de ambos ΕF; entonces el restante GF es mayor que el restante FD. Por tanto, FΑ es la mayor y FD la menor, y FΒ es mayor que FC, y FC que FG.

Digo también que solo caerán dos rectas iguales del punto F al círculo ΑΒCD a uno y otro lado de la más pequeña FD. Constrúyase, pues, sobre la recta ΕF y en su punto Ε el ángulo FΕH igual al ángulo GΕF [Prop. I.23] y trácese FH Paso 7. Así pues, como GΕ es igual a ΕH y ΕF es común, los dos lados GΕ, ΕF son iguales a los dos lados HΕ, ΕF; y el ángulo HEF es igual al ángulo GΕF; por tanto, la base FG es igual a la base FH [Prop. I.4].

Digo, en fin, que no caerá del punto F al círculo otra recta igual a FG.

Pues, si fuera posible, caiga FΚ Paso 8. Ahora bien, como FΚ es igual a FG, mientras que FH [es igual] a FG, entonces FΚ es también igual a FH, la más cercana a la que pasa por el centro igual a la más lejana: lo cual es imposible. Luego no podrá caer del punto F al círculo otra recta igual a GF. Por tanto solo una.

Por consiguiente, si se toma un punto en el diámetro de un círculo que no sea el centro del círculo y desde el punto hasta el círculo caen algunas rectas, será la mayor aquella en la que está el centro y la menor la restante, y de las demás la más cercana a la que pasa por el centro es siempre mayor que la más lejana y solo caerán dos iguales del punto al círculo a uno y otro lado de la más pequeña.

Q. E. D.