La recta trazada por el extremo del diámetro de un círculo formando ángulos rectos con el mismo caerá fuera del círculo, y no se interpondrá otra recta en el espacio entre la recta y la circunferencia; y el ángulo del semicírculo es mayor y el restante menor que cualquier ángulo rectilíneo agudo.
Sea el círculo ΑΒC en torno al centro D y el diámetro ΑΒ .
Digo que la recta trazada por el extremo Α formando ángulos rectos con ΑΒ caerá fuera del círculo.
Pues, supongamos que no, entonces, si es posible, caiga dentro como CΑ , y trácese DC .
Como DΑ es igual a DC, el ángulo DΑC es también igual al ángulo ΑCD [Prop. I.5]. Pero el ángulo DΑC es recto; por tanto, el ángulo ΑCD es también recto;
entonces los dos ángulos DΑC, ΑCD del triángulo ΑCD son iguales a dos rectos; lo cual es imposible [Prop. I.17]. Por tanto, la recta trazada a partir del punto a formando ángulos rectos con ΒΑ no caerá dentro del círculo. De manera semejante demostraríamos que tampoco caerá sobre la circunferencia; por tanto caerá fuera.
Caiga como ΑΕ .
Digo, además, que en el espacio entre la recta ΑΕ y el arco de circunferencia CHΑ no se interpondrá otra recta.
Pues, si es posible, interpóngase como FΑ , y trácese a partir del punto D la recta DG perpendicular a FΑ . Y como el ángulo ΑGD es recto y el ángulo DΑG es menor que un recto,
entonces ΑD es mayor que DG [Prop. I.19]. Pero DA es igual a DH; entonces DH es mayor que DG, la menor que la mayor; lo cual es imposible. Por tanto, en el espacio entre la recta
y la circunferencia no se interpondrá otra recta.
Digo también que el ángulo del semicírculo, comprendido por la recta ΒΑ y el arco de circunferencia CHΑ es mayor que cualquier ángulo rectilíneo agudo, y el restante, comprendido por el arco de circunferencia CHΑ y la recta ΑΕ es menor que cualquier ángulo rectilíneo agudo.
Pues si un ángulo rectilíneo es mayor que el ángulo comprendido por la recta ΒΑ y el arco de circunferencia CHΑ, pero menor que el comprendido por el arco de circunferencia CHΑ y la recta ΑΕ, en el espacio entre el arco de circunferencia CHΑ y la recta ΑΕ se interpondrá una recta que hará mayor el ángulo comprendido por las rectas que el comprendido por la recta ΒΑ y el arco de circunferencia CHΑ, y menor que el comprendido por el arco de circunferencia CHΑ y la recta ΑΕ. Pero no se interpone; por tanto, el ángulo agudo comprendido por rectas no será mayor que el ángulo comprendido por la recta ΒΑ y el arco de circunferencia CHΑ, ni menor que el comprendido por el arco de circunferencia CHΑ y la recta ΑΕ.
Q. E. D.