Si se toma un punto fuera de un círculo y de él al círculo caen dos rectas, y una de ellas corta el círculo y la otra lo toca, el rectángulo comprendido por la secante entera y la parte exterior tomada entre el punto y la circunferencia convexa es igual al cuadrado de la tangente.

Tómese, pues, un punto D fuera del círculo ΑΒC Paso 1, y de D al círculo caigan las dos rectas DC [Α], DΒ ; y corte una, DCΑ, el círculo ΑΒC Paso 2, y tóquelo la otra ΒD Paso 3. Digo que el rectángulo comprendido por ΑD, DC es igual al cuadrado de DΒ.

Entonces [D] CΑ o pasa por el centro o no. En primer lugar, pase por el centro y sea F el centro del círculo ΑΒC Paso 4, y trácese FΒ Paso 5; entonces el ángulo FΒD es recto [Prop. III.18]. Y como la recta ΑC ha sido dividida en dos partes iguales en F, y CD se ha añadido a ella, entonces el rectángulo comprendido por ΑD, DC junto con el cuadrado de FC es igual al cuadrado de FD [Prop. II.6]. Pero FC es igual a FΒ; por tanto, el rectángulo comprendido por ΑD, DC junto con el cuadrado de FΒ es igual al cuadrado de FD. Pero los cuadrados de FΒ, ΒD son iguales al cuadrado de FD [Prop. I.47]; luego el rectángulo comprendido por ΑD, DC junto con el cuadrado de FΒ es igual a los cuadrados de FΒ, ΒD. Quítese de ambos el cuadrado de FΒ; entonces el rectángulo restante comprendido por ΑD, DC es igual al cuadrado de la tangente DΒ.

Ahora bien, no pase DCΑ por el centro del círculo ΑΒC, y tómese el centro Ε Paso 6, y desde Ε trácese ΕF perpendicular a ΑC Paso 7 y trácense ΕΒ, ΕC, ΕD Paso 8; entonces el ángulo ΕΒD es recto [Prop. III.18]. Y como una recta ΕF que pasa por el centro corta formando ángulos rectos a una recta ΑC que no pasa por el centro, también la divide en dos partes iguales [Prop. III.3]; entonces ΑF es igual a FC. Y como la recta ΑC se ha dividido en dos partes iguales en el punto F, y se ha añadido a ella CD, el rectángulo comprendido por ΑD, DC junto con el cuadrado de FC es igual al cuadrado de FD [Prop. II.6]. Añádase a ambos el cuadrado de FΕ; entonces el rectángulo comprendido por ΑD, DC junto con los cuadrados de CF, FΕ es igual a los cuadrados de FD, FΕ. Pero el cuadrado de ΕC es igual a los cuadrados de CF, FΕ: porque el ángulo ΕFC es recto [Prop. I.47]; pero el cuadrado de ΕD es igual a los cuadrados de DF, FΕ; por tanto, el rectángulo comprendido por ΑD, DC junto con el cuadrado de ΕC es igual al cuadrado de ΕD. Y ΕC es igual a ΕΒ; luego el rectángulo comprendido por ΑD, DC junto con el cuadrado de ΕΒ es igual al cuadrado de ΕD. Pero los cuadrados de ΕΒ, ΒD son iguales al cuadrado de ΕD: porque el ángulo ΕΒD es recto [Prop. I.47]; por tanto, el rectángulo comprendido por ΑD, DC junto con el cuadrado de ΕΒ es igual a los cuadrados de ΕΒ, ΒD. Quítese de ambos el cuadrado de ΕΒ; entonces el rectángulo restante comprendido por ΑD, DC es igual al cuadrado de DΒ.

Por consiguiente, si se toma un punto fuera de un círculo, y de él al círculo caen dos rectas, y una de ellas corta el círculo y la otra lo toca, el rectángulo comprendido por la secante entera y la parte exterior tomada entre el punto y la circunferencia convexa es igual al cuadrado de la tangente.

Q. E. D.