Dado un segmento de círculo completar el trazado del círculo del que es segmento.

Sea ΑΒC el segmento de círculo dado. Así pues, hay que completar el trazado del círculo del que el segmento ΑΒC es segmento.

Divídase, pues, en dos partes iguales ΑC en el punto D, y trácese a partir del punto D la recta DΒ formando ángulos rectos con ΑC, y trácese ΑΒ; entonces el ángulo ΑΒD es o mayor o igual o menor que el ángulo ΒΑD.

En primer lugar, sea mayor, y constrúyase en la recta ΒΑ y en su punto Α el ángulo ΒΑΕ igual al ángulo ΑΒD, y prolónguese DΒ hasta Ε, y trácese ΕC. Así pues, como el ángulo ABE es igual al ángulo ΒΑΕ, entonces la recta ΕΒ es también igual a ΕΑ [Prop. I.6]. Y como ΑD es igual a DC, y DΕ es común, los dos lados ΑD, DΕ son iguales respectivamente a los dos lados CD, DΕ; y el ángulo ΑDΕ es igual al ángulo CDΕ: porque cada uno de ellos es recto; por tanto, la base ΑΕ es igual a la base CΕ. Pero se ha demostrado que ΑΕ es igual a ΒΕ; por tanto, BE es igual a CΕ; luego las tres rectas ΑΕ, ΕΒ, ΕC son iguales entre sí; así pues, el círculo descrito con el centro Ε y como distancia una de las rectas ΑΕ, ΕΒ, ΕC pasará también por los restantes puntos y se habrá completado su trazado [Prop. III.9]. Por tanto, se ha completado el trazado del círculo del segmento de círculo dado. Y es evidente que el segmento ΑΒC es menor que el semicírculo por encontrarse fuera de él el centro Ε.

De forma semejante, si el ángulo ABD es igual al ángulo ΒΑD, al ser igual ΑD a cada una de las rectas ΒD, DC, las tres DΑ, DΒ, DC serán iguales entre sí y Α será el centro del círculo completo y, evidentemente, ΑΒC será un semicírculo.

Pero si el ángulo ABD es menor que el ángulo ΒΑD, y construimos en la recta ΒΑ y en su punto Α un ángulo igual al ángulo ΑΒD, el centro caerá dentro del segmento ΑΒC sobre la recta ΑΒ, y el segmento ΑΒC será claramente mayor que el semicírculo.

Por consiguiente, dado un segmento de círculo, se ha completado el trazado del círculo.

Q. E.F.