Si se toma un punto dentro de un círculo y del punto al círculo caen más de dos rectas iguales, el punto tomado es el centro del círculo.
Sea ΑΒC el círculo y D un punto dentro de él ,
y desde D hasta el círculo ΑΒC caigan más de dos rectas iguales DΑ, DΒ, DC .
Digo que el punto D es el centro del círculo ΑΒC.
Trácense, pues, ΑΒ, ΒC y divídanse en dos partes iguales por los puntos Ε, F
, y, trazadas ΕD, FD, prolónguense hasta los puntos G, Κ, H, L .
Entonces, como ΑΕ es igual a ΕΒ y ΕD es común, los dos lados ΑΕ, ΕD son iguales a los dos lados ΒΕ, ΕD; y la base DA es igual a la base DΒ; por tanto, el ángulo ΑΕD es iguál al
ángulo ΒΕD [Prop. I.8]; luego cada uno de los ángulos ΑΕD, ΒΕD es recto [Def. I.10];
así pues, GΚ divide ΑΒ en dos partes iguales formando ángulos rectos. Y como si en un círculo
una recta divide en dos a otra recta formando ángulos rectos, el centro del círculo está en la recta que corta [Cor. Prop. III.1],
entonces el centro del círculo está en GΚ. Por lo mismo, el centro del círculo ΑΒC está también en HL. Y GΚ y HL no tienen ningún otro punto común que el punto D;
por tanto, el punto D es el centro del círculo ΑΒC.
Por consiguiente, si se toma un punto dentro de un círculo, y del punto al círculo caen más de dos rectas iguales, el punto tomado es el centro del círculo.
Q. E. D.