Si en un círculo se cortan entre sí dos rectas que no pasan por el centro, no se dividen entre sí en dos partes iguales.
Sea ΑΒCD el círculo y en él las dos rectas ΑC, ΒD que no pasan por el centro córtense en el punto Ε .
Digo que no se dividen entre sí en dos partes iguales.
Pues, si fuera posible, divídanse entre sí en dos partes iguales de modo que ΑΕ sea igual a ΕC y ΒΕ a ΕD; y tómese el centro del círculo
[Prop. III.1] y sea F, y trácese FΕ .
Así pues, como una recta que pasa por el centro FΕ divide en dos a otra recta que no pasa por el centro ΑC, también la corta formando ángulos rectos
[Prop. III.3]; por tanto, el ángulo zea es recto; como, a su vez, una recta FΕ divide en dos a otra recta ΒD, también la corta formando ángulos rectos
[Prop. III.3]; por tanto, el ángulo FΕΒ es recto. Pero se ha demostrado que también el ángulo FΕΑ es recto; luego el ángulo FΕΑ es igual al ángulo FΕΒ,
el menor al mayor; lo cual es imposible. Por tanto, las rectas ΑC, ΒD no se dividen entre sí en dos partes iguales.
Por consiguiente, si en un círculo se cortan entre sí dos rectas que no pasan por el centro, no se dividen entre sí en dos partes iguales.
Q. E. D.