Si se divide en dos partes iguales una línea recta y se le añade, en línea recta, otra recta, el rectángulo comprendido por la recta entera con la recta añadida y la recta añadida junto con el cuadrado de la mitad es igual al cuadrado de la recta compuesta por la mitad y la recta añadida.

Divídase, pues, la recta ΑΒ Paso 1 en dos por el punto C Paso 2, y añádasele, en línea recta, otra recta, ΒD Paso 3. Digo que el rectángulo comprendido por ΑD, DΒ junto con el cuadrado de CΒ es igual al cuadrado de CD.

Pues constrúyase a partir de D el cuadrado ◻CΕFD [Prop. I.46] Paso 4, y trácese DΕ Paso 5, y por el punto Β trácese ΒG paralela a una de las dos rectas ΕC, DF Paso 6, y por el punto H trácese ΚΜ paralela a una de las dos rectas ΑΒ, ΕF, y además por el punto A trácese ΑΚ paralela a una de las dos rectas CL, DΜ [Prop. I.31] Paso 7.

Entonces, como ΑC = CΒ, también ▭ΑL = ▭CH [Prop. I.36]. Pero ▭CH =▭HF [Prop. I.43]. Por tanto, ▭ΑL = ▭HF Paso 8. Añádase a ambos ▭CΜ; entonces ▭AM = ◱ΝOP. Pero ▭ΑΜ = ΑD⋅DΒ: porque DΜ = DΒ; por tanto, ◱ΝOP = ΑD⋅DΒ. Añádase a ambos ◻LG = ΒC²; entonces ΑD⋅DΒ + CΒ² = ◱ΝOP + ◻LG. Pero ◱ΝOP + ◻LG = ◻CΕFD = CD²; por tanto, ΑD⋅DΒ + CΒ² = CD² Paso 9.

Q. E. D.