En los triángulos acutángulos, el cuadrado del lado que subtiende al ángulo agudo es menor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo agudo en dos veces el rectángulo comprendido por uno de los lados del ángulo agudo sobre el que cae la perpendicular y la recta interior cortada por la perpendicular hasta el ángulo agudo.

Sea △ΑΒC el triángulo acutángulo que tiene agudo el ángulo correspondiente a Β Paso 1, y trácese a partir del punto Α, ΑD perpendicular a ΒC Paso 2. Digo que el cuadrado de ΑC es menor que los cuadrados de CΒ, ΒΑ en dos veces el rectángulo comprendido por CΒ, ΒD.

Pues dado que CΒ ha sido cortada al azar en D, entonces CΒ² + ΒD² = 2CΒ⋅ΒD + DC² [Prop. II.7]. Añádase a ambos DΑ²; entonces CΒ² + ΒD² + DΑ² = 2CΒ⋅ΒD + ΑD² + DC². Pero ΑΒ² = ΒD² + DΑ²: porque ∠D es recto [Prop. I.47]; pero ΑC² = ΑD² + DC²; por tanto CΒ² + ΒΑ² = ΑC² +2CΒ⋅ΒD.

Q. E. D.