Si se corta una línea recta en segmentos iguales y desiguales, el rectángulo comprendido por los segmentos desiguales de la recta entera junto con el cuadrado de la recta que está entre los puntos de sección, es igual al cuadrado de la mitad.
Córtese, pues, una recta cualquiera ΑΒ en segmentos iguales en el punto C, y en segmentos desiguales en el punto D . Digo que el rectángulo comprendido por ΑD, DΒ junto con el cuadrado de CD es igual al cuadrado de CΒ.
Pues constrúyase a partir de CΒ el cuadrado ◻CΕFΒ [Prop. I.46] , y trácese ΒΕ , y por el punto D trácese DG paralela a una de las dos rectas CΕ, ΒF , y por el punto H trácese a su vez KM paralela a una de las dos rectas ΑΒ, ΕF, y por el punto Α trácese, asimismo, ΑΚ paralela a una de las dos rectas CL, ΒΜ [Prop. I.31] . Y como ▭CH = ▭HF [Prop. I.43], añádase a ambos ◻DΜ; por tanto, ▭CΜ = ▭DF. Pero ▭CΜ = ▭ΑL, puesto ΑC = CΒ [Prop. I.36]; por tanto, ▭ΑL = ▭DF . Añádase a ambos ▭CH; entonces ▭ΑH = ◱ΜΝO. Pero ▭ΑH =ΑD⋅DΒ: porque DH = DΒ; entonces ◱ΜΝO = ΑD⋅DΒ. Añádase a ambos ◻LG = CD2; entonces ◱ΜΝO + ◻LG = ΑD⋅DΒ + CD2. Ahora bien, ◱ΜΝO + ◻LG = ◻CΕFΒ, que es CΒ2; por tanto, ΑD⋅DΒ + CD2 = CΒ2 .
Q. E. D.