Si se corta al azar una línea recta, cuatro veces el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos junto con el cuadrado del segmento restante es igual al cuadrado construido a partir de la recta entera y del segmento primeramente dicho, tomados como una sola recta.
Córtese, pues, al azar una recta ΑΒ por el punto C . Digo que cuatro veces el rectángulo comprendido por ΑΒ, ΒC junto con el cuadrado de ΑC es igual al cuadrado construido a partir de ΑΒ, ΒC tomados como una sola recta.
Pues prolónguese ΒD en línea recta con la recta ΑΒ, y hágase ΒD = CΒ , y constrúyase a partir de ΑD el cuadrado ◻ΑΕFD [Prop. I.46] , e inscríbase la figura duplicada . Así pues, como CΒ = ΒD, mientras que CΒ = GΚ, y ΒD = ΚΝ, entonces GΚ = ΚΝ. Por lo mismo, PR = RΟ. Y como ΒC = ΒD y GΚ = ΚΝ, entonces ◻CΚ =◻ ΚD, y ◻GR = ◻RΝ [Prop. I.36]. Pero ◻CΚ = ◻RΝ: porque son complementos del paralelogramo ▭CΟ [Prop. I.43]; por tanto, ◻ΚD = ◻GR; luego los cuatro ◻DΚ, ◻CΚ, ◻GR, ◻RΝ son iguales entre sí. Por tanto, ◻DΚ + ◻CΚ + ◻GR + ◻RΝ = 4◻CΚ. Como ◻CΒ = ◻ΒD, mientras que ◻ΒD = ◻ΒΚ, es decir a ◻CG, pero ◻CΒ = ◻GΚ, es decir a ◻GP, entonces ◻CG = ◻GP. Y como ◻CG = ◻GP, y ◻PR = ◻RΟ, entonces ▭AG = ▭ΜP, y ▭PL = ▭RF [Prop. I.36]. Pero ▭ΜP = ▭PD: porque son complementos de ▭ΜL [Prop. I.43]; por tanto, ▭ΑG = ▭RF; luego los cuatro ▭ΑG, ▭ΜP, ▭PL, ▭RF son iguales entre sí; por tanto, ▭ΑG + ▭ΜP + ▭PL + ▭RF = 4▭ΑG. Ahora bien, se ha demostrado que ◻DΚ + ◻CΚ + ◻GR + ◻RΝ = 4◻CΚ; por tanto, ◱SΤΥ = 4▭ΑΚ. Y como ▭ΑΚ = ΑΒ⋅ΒD: porque ΒΚ = ΒD; entonces 4ΑΒ⋅ΒD = 4▭ΑΚ. Pero se ha demostrado que ◱SΤΥ = 4▭ΑΚ; por tanto, 4ΑΒ⋅ΒD = ◱SΤΥ. Añádase a ambos ◻QH = ΑC2; entonces 4ΑΒ⋅ΒD + ΑC2 = ◱SΤΥ + ◻QH. Pero ◱SΤΥ + ◻QH = ◻ΑΕFD = ΑD2; luego 4ΑΒ⋅ΒD + ΑC2 = ΑD2; ahora bien, ΒD = ΒC. Por tanto, 4ΑΒ⋅ΒC + ΑC2 = AD2 .
Q. E. D.