Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectángulo comprendido por los segmentos.
Córtese, pues, al azar la línea ΑΒ en el punto C . Digo que el cuadrado de ΑΒ es igual a los cuadrados de ΑC, CΒ y dos veces el rectángulo comprendido por ΑC, CΒ.
Pues constrúyase a partir de ΑΒ el cuadrado ◻ΑDΕΒ [Prop. I.46] , y trácese ΒD, y por el punto C trácese CF paralela a una de las dos rectas ΑD, ΕΒ, y por el punto G trácese HΚ paralela a las dos rectas ΑΒ, DΕ [Prop. I.31] . Ahora bien, como CF es paralela a ΑD, y ΒD ha incidido sobre ellas, el ángulo externo ∠CGΒ es igual al interno y opuesto ∠ΑDΒ [Prop. I.29] . Pero ∠ΑDΒ = ∠ΑΒD, puesto que ΒΑ = ΑD [Prop. I.5]; por tanto, ∠CGΒ =∠ GΒC; de modo que ΒC = CG [Prop. I.6]; pero CΒ = GΚ y CG = ΚΒ [Prop. I.34]; por tanto, GΚ = ΚΒ; luego ▱CGΚΒ es equilátero.
Digo, en fin, que también es rectangular. Pues como CG es paralela a ΒΚ y CΒ ha incidido sobre ellas, entonces ∠ ΚΒC+∠GCΒ es igual a dos rectos [Prop. I.29]. Pero ∠ΚΒC es recto; por tanto, ∠ΒCG es también recto; de modo que los ángulos opuestos ∠CGΚ, ∠GΚΒ son, asimismo, rectos [Prop. I.34], Luego ▱CGΚΒ es rectangular; pero se ha demostrado que también es equilátero; por tanto, es un cuadrado; y es CΒ2. Por lo mismo, efectivamente ◻HF es también un cuadrado; y es HG2, es decir ΑC2 [Prop. I.34]; por tanto, ◻HF = AC2, ◻ΚC = CΒ2. Y como ΑG = GΕ y ▭ΑG = ΑC⋅CΒ: porque GC = CΒ; entonces ▭GE = ΑC⋅CΒ; por tanto, ▭ΑG+▭GE =2ΑC⋅CΒ. Pero ◻HF = AC2, ◻CΚ=CΒ2; por tanto, HF2+CΚ2+ΑG2+GΕ2 = ΑC2+CΒ2+2ΑC⋅CΒ. Ahora bien, HF2+CΚ2+ΑG2+GΕ2 = ◻ΑDΕΒ, que es ΑΒ2; por tanto, ΑΒ2 = ΑC2+CΒ2+2ΑC⋅CΒ .
Q. E. D.
Corolario. A partir de esto, queda claro que en las áreas de cuadrados, los paralelogramos situados en torno a la diagonal son cuadrados.