Si se corta al azar una línea recta, el rectángulo comprendido por la recta entera y cada uno de los segmentos es igual al cuadrado de la recta entera.
Córtese, pues, la recta ΑΒ al azar en el punto C . Digo que ΑΒ⋅ΒC + ΒΑ⋅ΑC = ΑΒ2.
Pues constrúyase a partir de ΑΒ el cuadrado ◻ΑDΕΒ [Prop. I.46] , y trácese por el punto C la recta CF paralela a una de las dos rectas ΑD, ΒΕ [Prop. I.31]. Entonces ▭ΑΕ = ▭ΑF+▭CΕ . Ahora bien, ▭ΑΕ=ΑΒ2, pero ▭ΑF = DΑ⋅ΑC, y ΑD = ΑΒ; y ▭CΕ = ΑΒ⋅ΒC: porque ΒΕ = ΑΒ. Por tanto, ΒΑ⋅ΑC + ΑΒ⋅ΒC =Α2Β.
Q. E. D.