Dividir una recta dada de manera que el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos sea igual al cuadrado del segmento restante.

Sea ΑΒ la recta dada. Así pues, hay que dividir ΑΒ de modo que el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos sea igual al cuadrado del segmento restante.

Pues constrúyase a partir de ΑΒ el cuadrado ◻ΑΒDC [Prop. I.46]Paso 1 y divídase en dos ΑC por el punto Ε Paso 2 y trácese ΒΕ Paso 3 y prolónguese CΑ hasta F Paso 4, y hágase ΕF = ΒΕ, y constrúyase a partir de ΑF el cuadrado ◻FH Paso 5, y prolónguese GH hasta Κ Paso 6. Digo que ΑΒ ha sido cortada en H, de modo que hace el rectángulo comprendido por ΑΒ, ΒH igual al cuadrado ΑH.

Pues como la recta ΑC ha sido dividida en dos por el punto Ε y se le ha añadido FΑ, entonces CF⋅FΑ + ΑΕ² = ΕF² [Prop. II.6]. Pero ΕF = ΕΒ; por tanto, CF⋅FΑ + ΑΕ² = ΕΒ². Pero ΒΑ² + ΑΕ² = ΕΒ², porque el ángulo correspondiente a Α es recto [Prop. I.47]; por tanto, CF⋅FΑ + ΑΕ² = ΒΑ² + ΑΕ². Quítese de ambos ΑΕ²; entonces CF⋅FΑ = ΑΒ². Ahora bien, CF⋅FΑ = ▭FΚ: porque ΑF = FG; pero ΑΒ² = ◻ΑD; por tanto, ▭FΚ = ◻ΑD. Quítese de ambos ◻ΑΚ; entonces ◻FH = ▭HD. Y ▭HD = ΑΒ⋅ΒH: porque ΑΒ = ΒD; pero ◻FH = ΑH²; por tanto, ΑΒ⋅ΒH = HΑ² Paso 7.

Por consiguiente, la recta dada ΑΒ ha sido dividida en H de modo que ΑΒ⋅ΒH = HΑ².

Q. E. F.