Si se corta una línea recta en partes iguales y desiguales, los cuadrados de los segmentos desiguales de la recta entera son el doble del cuadrado de la mitad más el cuadrado de la recta situada entre los puntos de sección.
Córtese, pues, una recta ΑΒ en segmentos iguales por el punto C, y en desiguales por el punto D . Digo que los cuadrados de ΑD, DΒ son el doble de los cuadrados de ΑC, CD.
Trácese, pues, por el punto C la recta CΕ perpendicular a ΑΒ, y hágase CΕ igual a cada una de las rectas ΑC, CΒ, y trácense ΕΑ, ΕΒ , y por el punto D trácese DF paralela a ΕC , y por el punto F, FG paralela a ΑΒ, y trácese ΑF . Y como ΑC = CΕ, entonces ∠ΕΑC = ∠ΑΕC . Y como es recto el ángulo correspondiente a ∠C, entonces ∠ΕΑC + ∠ΑΕC es igual a un recto [Prop. I.32]; y son iguales ; por tanto, cada uno de los ángulos ∠CΕΑ, ∠CΑΕ son la mitad de un recto. Por lo mismo, en efecto, cada uno de los ángulos ∠CΕΒ, ∠ΕΒC es también la mitad de un recto; por tanto, el ángulo entero ∠ΑΕΒ es recto. Y como el ángulo ∠GEF es la mitad de un recto y el ángulo ∠ΕGF es recto — porque es igual al interno y opuesto ∠ΕCΒ [Prop. I.29]— entonces el ángulo restante ∠ΕFG es la mitad de un recto [Prop. I.32]; por tanto, ∠GEF = ∠ΕFG; de modo que ΕG = GF [Prop. I.6]. Como, asimismo, ∠B es la mitad de un recto, y ∠FDΒ es recto: porque es a su vez igual al interno y opuesto ∠ΕCΒ [Prop. I.29]; entonces el ángulo restante ∠ΒFD es la mitad de un recto [Prop. I.32]; luego ∠B = ∠DFΒ; de modo que también FD = DΒ [Prop. I.6] . Y como ΑC = CΕ, ΑC2 = CΕ2; por tanto, ΑC2 + CΕ2 =2ΑC2. Pero EA2 = ΑC2 + CΕ2 — porque el ángulo ∠ΑCΕ es recto [Prop. I.47]— por tanto, ΕΑ2 = 2ΑC2. Como ΕG = GF, ΕG2 = GF2; entonces ΕG2 + GF2 = 2GF2. Pero ΕF2 = ΕG2 + GF;2 por tanto, ΕF2 = 2GF2. Pero GF = CD [Prop. I.34]; por tanto, ΕF2 = 2CD2. Pero ΕΑ2 =2ΑC2; por tanto, ΑΕ2 + ΕF2 = 2(ΑC2 + CD2. Pero ΑF2 = ΑΕ2 + ΕF2: porque ∠ΑΕF es recto [Prop. I.47]; por tanto, ΑF2 = 2(ΑC2 + CD2). Ahora bien, ΑD2 + DF2 = ΑF2: porque ∠D es recto [Prop. I.47]; luego ΑD2 + DF2 = 2(ΑC2 + CD2). Pero DF = DΒ; por tanto, ΑD2 + DΒ2 = 2(ΑC2 + CD2).
Q. E. D.