Construir un cuadrado igual a una figura rectilínea dada.

Sea Α la figura rectilínea dada Paso 1. Así pues, hay que construir un cuadrado igual a la figura rectilínea Α.

Constrúyase, pues, el paralelogramo rectángulo ▭ΒD igual a la figura rectilínea Α [Prop. I.45] Paso 2. Entonces, si ΒΕ = ΕD, se habrá hecho lo propuesto: porque se ha construido el cuadrado ◻ΒD igual a la figura rectilínea Α; pero si no, una de las rectas ΒΕ, ΕD es mayor. Sea mayor ΒΕ y prolónguese hasta F, y hágase ΕF = ΕD Paso 3, y divídase en dos partes iguales ΒF en G Paso 4, y con el centro G y una de las rectas GΒ, GF como distancia descríbase el semicírculo ◠ΒHF Paso 5, y prolónguese DΕ hasta H Paso 6, y trácese GH Paso 7.

Así pues, como la recta ΒF ha sido cortada en partes iguales en G y en desiguales en Ε, entonces ΒΕ⋅ΕF + ΕG² = GF² [Prop. II.5]. Pero GF = GH; por tanto, ΒΕ⋅ΕF + GΕ² = GH². Pero HΕ² + GΕ² = GH² [Prop. I.47]; por tanto, BE⋅ΕF + GΕ² = HΕ² + ΕG². Quítese de ambos GE²; entonces ΒΕ⋅ΕF = ΕH². Ahora bien, ΒΕ⋅ΕF = ΒD²: porque ΕF = ΕD; por tanto, ▭ΒD = ◻HΕ. Pero ▭ΒD es igual a la figura rectilínea Α. Luego Α = ΕH² Paso 8.

Q. E. F.