Si hay dos segmentos y uno de ellos se corta en un número cualquiera de segmentos, el rectángulo comprendido por los dos segmentos es igual a los rectángulos comprendidos por el segmento no cortado y cada uno de los segmentos.
Sean Α, ΒC dos segmentos y córtese al azar ΒC en los puntos D, Ε . Digo que el rectángulo comprendido por Α, ΒC es igual al rectángulo comprendido por Α, ΒD y el comprendido por Α, DΕ y además el comprendido por Α, ΕC.
Pues trácese a partir del punto Β la recta ΒF que forme ángulos rectos con ΒC [Prop. I.11] , y hágase ΒG = Α [Prop. I.3], y por el punto G trácese GH paralela a ΒC [Prop. I.31] , y por los puntos D, Ε, C trácense DΚ, ΕL, CH paralelas a ΒG . Entonces ▭ΒH =▭ΒΚ+▭DL+▭ΕH . Ahora bien, ▭ΒH=Α⋅ΒC: porque está comprendido por GΒ, ΒC, y ΒG=Α; pero ▭ΒΚ=Α⋅ΒD: porque está comprendido por GΒ, ΒD, y ΒG = Α. Y ▭DL=A⋅DΕ: porque DΚ, es decir ΒG [Prop. I.34] es igual a Α. Y además, del mismo modo ▭ΕH=Α⋅ΕC; así pues, Α⋅ΒC = Α⋅ΒD + Α⋅DΕ + Α⋅ΕC.
Q. E. D.