Si se divide en dos partes iguales una línea recta y se le añade, en línea recta, otra recta, el cuadrado de la recta entera con la recta añadida y el cuadrado de la añadida, tomados conjuntamente, son el doble del cuadrado de la mitad y el cuadrado construido a partir de la recta compuesta por la mitad y la recta añadida, tomadas como una sola recta.

Divídase, pues, en dos partes iguales una recta ΑΒ Paso 1 por el punto C Paso 2, y añádase a ella, en línea recta, otra recta ΒD Paso 3. Digo que los cuadrados de ΑD, DΒ son el doble de los cuadrados de ΑC, CD.

Pues trácese a partir del punto C la recta perpendicular CΕ a ΑΒ [Prop. I.11] Paso 4, y hágase igual a cada una de las rectas ΑC, CΒ [Prop. I.3], y trácense ΕΑ, ΕΒ Paso 5; y por el punto E trácese ΕF paralela a ΑD Paso 6, y por el punto D trácese FD paralela a CΕ [Prop. I.31] Paso 7. Y dado que una recta ΕF ha incidido sobre las rectas paralelas ΕC, FD, entonces ∠CΕF + ∠ΕFD es igual a dos rectos [Prop. I.29]; por tanto, ∠FΕΒ + ∠ΕFD es menor que dos rectos; pero las rectas prolongadas a partir de ángulos menores que dos rectos se encuentran [Post. 5]; por tanto, las rectas ΕΒ, FD prolongadas en el sentido de Β, D se encontrarán. Prolónguense y encuéntrense en G, y trácese ΑG Paso 8. Y como ΑC = CΕ, ∠ΕΑC = ∠ΑΕC [Prop. I.5], y ∠C es recto; por tanto, cada uno de los ángulos ∠ΕΑC, ∠ΑΕC es la mitad de un recto [Prop. I.32] Paso 9. Por lo mismo, cada uno de los ángulos ∠CΕΒ, ∠ΕΒC es la mitad de un recto; por tanto, el ángulo ∠ΑΕΒ es recto Paso 10. Y como el ángulo ∠ΕΒC es la mitad de un recto, entonces ∠DΒG es también la mitad de un recto [Prop. I.15]. Pero el ángulo ΒDG es también recto: pues es igual al ángulo ∠DCΕ, porque son alternos [Prop. I.29]; por tanto, el ángulo restante ∠DGΒ es la mitad de un recto [Prop. I.32]: luego ∠DGΒ = ∠DΒG; de modo ΒD = GD [Prop. I.6]Paso 11. Como a su vez el ángulo ∠ΕGF es la mitad de un recto, y el ángulo correspondiente a ∠F es recto —porque es igual al ángulo opuesto, el correspondiente a ∠C [Prop. I.34]— entonces el ángulo restante ∠FΕG es la mitad de un recto [Prop. I.32]; por tanto, ∠ΕGF = ∠FΕG; de modo que también GF = ΕF [Prop. I.6]. Ahora bien, dado que ΕC² = CΑ², entonces ΕC² + CΑ² = 2CΑ². Pero ΕΑ² = ΕC² + CΑ² [Prop. I.47]; por tanto, ΕΑ² =2²ΑC [N.C. 1]. Como FG = ΕF, FG² = FΕ², entonces GF² + FΕ² = 2ΕF². Pero ΕG² = GF² + FΕ² [Prop. I.47]; por tanto, ΕG² = 2ΕF². Y ΕF = CD [Prop. I.34]; por tanto, ΕG² = 2CD². Ahora bien, se ha demostrado que ΕΑ² = 2ΑC²; por tanto, ΑΕ² + ΕG² = 2(ΑC² + CD²). Pero ΑG² = ΑΕ² + ΕG² [Prop. I.47]; por tanto, AG² = 2(ΑC² + CD²). Pero ΑD² + DG² = 2(ΑC² + CD²). Pero DG = DΒ; luego ΑD² + DΒ² = 2(ΑC² + CD²).

Q. E. D.