Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera y el de uno de los segmentos tomados conjuntamente son iguales a dos veces el rectángulo comprendido por la recta entera y el segmento antedicho más el cuadrado del segmento restante.
Córtese, pues, al azar una recta ΑΒ por el punto C . Digo que los cuadrados de ΑΒ, ΒC son iguales a dos veces el rectángulo comprendido por ΑΒ, ΒC más el cuadrado de CΑ.
Pues constrúyase a partir de ΑΒ el cuadrado ◻ΑDΕΒ [Prop. I.46] ; e inscríbase la figura . Así pues, como ▭ΑG = ▭GΕ [Prop. I.43], añádase a ambos ◻CF; entonces ▭ΑF = ▭CΕ; por tanto, ▭ΑF+▭CΕ=2▭ΑF. Pero ▭ΑF+▭CΕ = ◱ΚLΜ + ◻CF; por tanto, ◱ΚLΜ + ◻CF = 2▭ΑF. Ahora bien, 2▭ΑF = 2ΑΒ⋅ΒC, porque ΒF = ΒC; por tanto, ◱ΚLΜ + ◻CF = 2ΑΒ⋅ΒC. Añádase a ambos ◻DG = ΑC2; entonces ◱ΚLΜ + ◻ΒG + ◻GD = 2ΑΒ⋅ΒC + ΑC2. Pero ◱ΚLΜ + ◻ΒG + ◻GD = ◻ΑDΕΒ + ◻CF = ΑΒ2 + ΒC2; por tanto, ΑΒ2+ΒC2= 2ΑΒ⋅ΒC+ ΑC2 .
Q. E. D.