Si se corta al azar una línea recta, el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos es igual al rectángulo comprendido por los segmentos y el cuadrado del segmento primeramente dicho.
Córtese, pues, al azar la recta ΑΒ en C . Digo que el rectángulo comprendido por ΑΒ, ΒC es igual al rectángulo comprendido por ΑC, CΒ junto con el cuadrado de ΒC.
Pues constrúyase a partir de CΒ el cuadrado ◻CDΕΒ [Prop. I.46] , y prolónguese ΕD hasta F, y por el punto Α trácese ΑF paralela a una de las dos rectas CD, ΒΕ [Prop. I.31] . Entonces ▭ΑΕ = ▭ΑD +▭CΕ ; ahora bien, ▭ΑΕ = ΑΒ⋅ΒC: porque está comprendido por ΑΒ, ΒΕ, y ΒΕ = ΒC; pero ▭ΑD = ΑC⋅CΒ: porque DC = CΒ; y ▭CE = BC2; así pues, ΑΒ⋅ΒC = ΑC⋅CΒ + ΒC2.
Q. E. D.