Dadas dos esferas con el mismo centro, inscribir en la esfera mayor un sólido poliedro que no toque la esfera menor en su superficie.
Considérense dos esferas con el mismo centro A . Así pues, hay que inscribir en la esfera mayor un sólido poliedro que no toque la esfera menor en su superficie.
Córtense las esferas por un plano a través del centro; entonces las secciones serán círculos: porque la esfera se generaba permaneciendo fijo el diámetro y haciendo girar el semicírculo en torno a él [Def. XI.14]; de modo que sea cual sea la posición en que consideremos el semicírculo, el plano trazado a través de él producirá un círculo en la superficie de la esfera. Y está claro que también es el máximo posible: porque el diámetro de la esfera que es el diámetro del semicírculo y, por supuesto, del círculo, es mayor que todas las rectas trazadas en el círculo o en la esfera. Así pues, sea BCDE el círculo en la esfera mayor , y el círculo FGH el círculo en la esfera menor , y trácense sus dos diámetros BD, CE que forman ángulos rectos entre sí , y, dados los dos círculos BCDE, FGH con el mismo centro, inscríbase en el círculo mayor BCDE, un polígono equilátero y de un número par de lados que no toque al círculo menor FGH; sean BK, KL, LM, ME sus lados en el cuadrante BE , y una vez trazada KA, prolónguese hasta N , y levántese a partir del punto A, AQ formando ángulos rectos con el plano del círculo BCDE y encuentre la superficie de la esfera en el punto Q ; trácense planos a través de AQ y cada una de las rectas BD, KN; entonces, por las razones antedichas producirán círculos máximos en la superficie de la esfera. Prodúzcanse y sean BQD, KQN sus semicírculos sobre los diámetros BD, KN . Y puesto que QA forma ángulos rectos con el plano del círculo BCDE, entonces, todos los planos que pasan por QA forman ángulos rectos con el plano del círculo BCDE [Prop. XI.18]; de modo que los semicírculos BQD, KQN forman ángulos rectos con el plano del círculo BCDE. Y como BED, BQD, KQN son semicírculos iguales —porque tienen los diámetros iguales BD, KN— los cuadrantes BE, BQ, KQ son iguales entre sí. Entonces, cuantos lados del polígono hay en el cuadrante BE, tantos hay también en los cuadrantes BQ, KQ, iguales a las rectas BK, KL, LM, ME. Inscríbanse y sean BO, OP, PR, RQ, KS, ST, TY, YQ , y trácense SO, TP, YR , y trácense, desde los puntos O, S perpendiculares al plano del círculo BCDE [Prop. XI.11]; entonces, caerán sobre las secciones comunes de los planos BD, KN: porque los planos de los semicírculos BQD, KQN forman ángulos rectos con el plano del círculo BCDE. Caigan y sean OU, SX , y trácese XU . Ahora bien, como en los semicírculos iguales BQD, KQN se han quitado las rectas iguales BO, KS y se han trazado las perpendiculares OU, SX; entonces OU es igual a SX y BU a KX [Prop. III.27 y Prop. I.26]. Pero la recta entera BA también es igual a la recta entera KA; entonces, la restante UA es igual a la restante XA; luego, como BU es a UA, así KX a XA; por tanto, QU es paralela a KB [Prop. VI.2]. Y como cada una de las rectas OU, SX forma ángulos rectos con el plano del círculo BCDE, entonces OU es paralela a SX [Prop. XI.6]. Pero se ha demostrado que es igual a ella; luego XU, SO son también iguales y paralelas [Prop. I.33]. Y como XU es paralela a SO, mientras que XU es paralela a KB; entonces SO es también paralela a KB [Prop. XI.9]. Y BO, KS las unen por sus extremos, entonces, el cuadrilátero KBOS está en un plano: porque, si hay dos rectas paralelas y se toman puntos al azar en ellas, la recta que une los puntos está en el mismo plano que las paralelas [Prop. XI.7]. Por lo mismo, entonces, cada uno de los cuadriláteros SOPT, TPRY están también en un plano [Prop. XI.2]. Y también el triángulo YRQ está en un plano. Entonces, si consideramos rectas trazadas desde los puntos O, S, P, T, R, Y hasta el punto A, se construirá una figura poliédrica sólida entre las circunferencias BQ, KQ compuesta de pirámides cuyas bases son los cuadriláteros KBOS, SOPT, TPRY y el triángulo YRQ y el vértice el punto A. Pero, si seguimos la misma construcción en el caso de cada uno de los lados KL, LM, ME, como en el caso de BK, y además en el caso de los tres cuadrantes que quedan, se construirá una figura poliédrica inscrita en la esfera comprendida por pirámides cuyas bases son dichos cuadriláteros y el triángulo YRQ y los correspondientes a ellos y su vértice el punto A. Digo que dicho poliedro no tocará la esfera menor en la superficie en la que está el círculo FGH.
Trácese del punto A al plano del cuadrilátero KBOS la perpendicular AV y encuentre el plano en el punto V [Prop. XI.11], y trácense VB, VK . Ahora bien, como AV forma ángulos rectos con el plano del cuadrilátero KBOS, entonces también forma ángulos rectos con todas las rectas que la tocan y están en el plano del cuadrilátero [Def. XI.3]. Luego AV forma ángulos rectos con cada una de las rectas BV, VK. Y como AB es igual a AK, el cuadrado de AB es también igual al cuadrado de AK. Y los cuadrados de AV, VB son iguales al cuadrado de AB: porque el ángulo correspondiente a V es recto [Prop. I.47]. Y los cuadrados AV, VK son iguales al cuadrado de AK [Prop. I.47]. Luego los cuadrados de AV, VB son iguales a los cuadrados de AV, VK. Quítese de ambos el de AV; entonces el cuadrado restante, el de BV, es igual al cuadrado restante, el de VK; luego BV es igual a VK. Demostraríamos de manera semejante que las rectas trazadas desde V hasta O, S son iguales a cada una de las rectas BV, VK. Luego el círculo descrito con centro V y, como distancia, una de las rectas VB, VK pasará también a través de O, S y KBOS será un cuadrilátero en un círculo. Y como KB es mayor que XU, mientras que XU es igual a SO, entonces KB es mayor que SO. Pero KB es igual que cada una de las rectas KS, BO; luego cada una de las rectas KS, BO es mayor que S. Y como KBOS es un cuadrilátero en un círculo, y KB, BO, KS son iguales y OS menor y BV es el radio del círculo, entonces, el cuadrado de KB es mayor que el doble del cuadrado de BV. Trácese la perpendicular KW del punto K a la recta BU . Y como BD es menor que el doble de DW, y, como BD es a DW, así el rectángulo comprendido por DB, BW al rectángulo comprendido por DW, WB, si construimos el cuadrado de BW y completamos el paralelogramo sobre WD, entonces, el rectángulo comprendido por DB, BW es menor que el doble del rectángulo comprendido por DW, WB. Y si se traza KD, el rectángulo comprendido por DB, BW es igual al cuadrado de BK, y el rectángulo comprendido por DW, WB es igual al cuadrado de KW [Prop. III.31, Prop. VI.8 y Cor. Prop. VI.8]; luego el cuadrado de KB es menor que el doble del cuadrado de KW. Pero el cuadrado de KB es mayor que el doble del cuadrado de BV; entonces el cuadrado de KW es mayor que el cuadrado de BV. Ahora bien, como BA es igual a KA, el cuadrado de BA es igual al cuadrado de AK. Y los cuadrados de BV, VA son iguales al cuadrado de BA, y los cuadrados de KW, WA son iguales al cuadrado de KA [Prop. I.47]; luego los cuadrados de BV, VA son iguales a los cuadrados de KW, WA, de los cuales el cuadrado de KW es mayor que el de BV; por tanto, el cuadrado restante, el de WA es menor que el cuadrado de VA. Luego AV es mayor que AW; entonces AV es mucho mayor que AG. Y AV está en una base del poliedro y AG en la superficie de la esfera menor; de modo que el poliedro no toca la esfera menor en su superficie.
Por consiguiente, dadas dos esferas con el mismo centro, se ha inscrito, en la esfera mayor, un sólido poliedro que no toca la esfera menor en su superficie.
Q. E. F.
Pero también, si se inscribe en otra esfera un sólido poliedro semejante al sólido poliedro inscrito en la esfera BCDE, el sólido poliedro inscrito en la esfera BCDE guarda con el sólido poliedro inscrito en la otra esfera una razón triplicada de la que el diámetro de la esfera BCDE guarda con el diámetro de la otra esfera. Pues si se dividen los sólidos en sus pirámides semejantes en número y disposición, las pirámides serán semejantes. Pero las pirámides semejantes guardan entre sí una razón triplicada de la de sus lados correspondientes [Cor. Prop. XII.8]. Entonces, la pirámide cuya base es el cuadrilátero KBOS y su vértice el punto A guarda con la pirámide dispuesta de modo semejante en la otra esfera una razón triplicada de la que el lado correspondiente guarda con el lado correspondiente, es decir, de la que el radio AB de la esfera con centro A guarda con el radio de la otra esfera. De manera semejante, cada pirámide de las de la esfera con centro A guardará con cada pirámide dispuesta de manera semejante de la otra esfera una razón triplicada de la que guarda AB con el radio de la otra esfera. Ahora bien, como uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes, así todos los antecedentes a todos los consecuentes [Prop. V.12]; de modo que el sólido poliedro entero inscrito en la esfera con centro A guardará con el sólido poliedro entero inscrito en la otra esfera una razón triplicada de la que AB guarda con el radio de la otra esfera, es decir, de la que el diámetro BD guarda con el diámetro de la otra esfera.
Q. E. D.