Si una recta forma ángulos rectos con un plano cualquiera, todos los planos que pasen a través de ella formarán también ángulos rectos con el mismo plano.
Pues forme ángulos rectos una recta cualquiera, AB , con el plano de referencia . Digo que todos los planos que pasan a través de AB forman también ángulos rectos con el plano de referencia.
Trácese, pues, el plano DE a través de AB y sea CE la sección común del plano DE y el de referencia ; tómese al azar el punto F en CE , y trácese, desde el punto F, la recta FG formando ángulos rectos con CE en el plano DE [Prop. I.11]. Ahora bien, como AB es ortogonal al plano de referencia, entonces AB formará también ángulos rectos con todas las rectas que la tocan y están en el plano de referencia [Def. XI.3]; de modo que también forma ángulos rectos con CE; luego el ángulo ABF es recto. Pero el ángulo GFB es también recto; luego AB es paralela a FG [Prop. I.28]. Pero AB forma ángulos rectos con el plano de referencia; entonces FG forma también ángulos rectos con el plano de referencia [Prop. XI.8]. Ahora bien, un plano es ortogonal a un plano cuando las rectas trazadas en uno de los planos formando ángulos rectos con la sección común de los dos planos forman ángulos rectos con el plano restante [Def. XI.4]. Y se ha demostrado que la recta FG, trazada en uno de los planos DE, formando ángulos rectos con la sección común de los planos CE, forma ángulos rectos con el plano de referencia; por tanto, el plano DE forma ángulos rectos con el de referencia. De manera semejante demostraríamos que todos los planos que pasan a través de AB forman ángulos rectos con el plano de referencia.
Por consiguiente, si una recta forma ángulos rectos con un plano cualquiera, todos los planos que pasan a través de ella formarán también ángulos rectos con el mismo plano.
Q. E. D.