Si dos rectas forman ángulos rectos con el mismo plano, las rectas serán paralelas.
Formen, pues, las dos rectas AB, CD ángulos rectos con el plano de referencia . Digo que AB es paralela a CD.
Pues únanse con el plano de referencia en los puntos B, D y trácese la recta BD , y trácese DE formando ángulos rectos con BD en el plano de referencia , y hágase DE igual a AB, y trácense BE, AE, AD . Ahora bien, como AB es ortogonal al plano de referencia, hará ángulos rectos con todas las rectas que la tocan y están en el plano de referencia [Def. XI.3]. Pero cada una de las rectas BD, BE, que están en el plano de referencia, toca a AB; entonces cada uno de los ángulos ABD, ABE es recto. Por lo mismo, cada uno de los ángulos CDB, CDE también es recto. Y como AB es igual a DE y BD es común, entonces los dos lados AB, BD son iguales a los dos lados ED, DB; y comprenden ángulos rectos; luego la base AD es igual a la base BE [Prop. I.4]. Ahora bien, como AB es igual a DE, mientras que AD es también igual a BE, entonces los dos lados AB, BE son iguales a los dos lados ED, DA; y AE es su base común; luego el ángulo ABE es igual al ángulo EDA [Prop. I.8]. Pero el ángulo ABE es recto; entonces el ángulo EDA es también recto; luego ED forma ángulo recto con DA. Pero forma también ángulos rectos con cada una de las rectas BD, DC. Entonces ED se ha levantado formando ángulos rectos con las tres rectas BD, DA, DC, en su punto de contacto; luego las tres rectas BD, DA, DC están en un plano [Prop. XI.5]. Pero en el plano en que están DB, DA, en ése está también AB: porque todo triángulo está en un plano [Prop. XI.2]; entonces las rectas AB, BD, DC están en un plano. Ahora bien, cada uno de los ángulos ABD, BDC es recto; por tanto, AB es paralela a CD [Prop. I.28].
Por consiguiente, si dos rectas forman ángulos rectos con el mismo plano, las rectas serán paralelas.
Q. E. D.