Si cuatro rectas son proporcionales, los sólidos paralelepípedos semejantes y construidos de manera semejante a partir de ellas serán también proporcionales; y si los sólidos paralelepípedos semejantes y construidos de manera semejante a partir de ellas son proporcionales, también las propias rectas serán proporcionales.

Sean proporcionales las cuatro rectas AB, CD, EF, GH, es decir que como AB es a CD, así EF a GH, y constrúyanse a partir de AB, CD, EF, GH los sólidos paralelepípedos KA, LC, ME, NG semejantes y situados de manera semejante. Digo que, como KA es a LC, así ME a NG.

Pues dado que el sólido paralelepípedo KA es semejante al sólido paralelepípedo LC, entonces KA guarda con LC una razón triplicada de la que AB guarda con CD [Prop. XI.33]. Por lo mismo, ME guarda con NG una razón triplicada de la que EF guarda con GH [Prop. XI.33]. Y como AB es a CL, así EF a GL. Entonces, como AK es a LC, así ME a NG. Pero ahora, como el sólido AK es al sólido LC, sea así el sólido ME al sólido NG. Digo que, como la recta AB es a la recta CD, así la recta EF a la recta GL.

Pues dado que KA guarda a su vez con LC una razón triplicada de la que AB guarda con CD [Prop. XI.33], y ME guarda también con NG una razón triplicada de la que EF guarda con GH [Prop. XI.33], y como KA es a LC, así ME a NG, entonces, como AB es a CL, así EF a GH.

Por consiguiente, si cuatro rectas son proporcionales y lo que sigue del enunciado.

Q. E. D.