Si dos rectas que se tocan son paralelas a dos rectas que se tocan sin estar en el mismo plano, los planos que pasan a través de ellas son paralelos.
Pues sean las rectas que se tocan AB, BC paralelas a las dos rectas que se tocan DE, EF sin estar en el mismo plano. Digo que los planos que pasan a través de AB, BC, DE, EF, prolongados, no se encontrarán.
Trácese, pues, desde el punto B, BG perpendicular al plano que pasa a través de DE, EF [Prop. XI.11], y únase con el plano en el punto G; trácese, por el punto G, la recta GH paralela a ED y la recta GK paralela a EF [Prop. I.31]. Y como BG forma ángulos rectos con el plano que pasa a través de DE, EF, entonces hará ángulos rectos con todas las rectas que la toquen y estén en el plano que pasa a través de DE, EF [Def. XI.3]. Pero cada una de las rectas GH, GK que están en el plano que pasa a través de DE, EF la tocan; luego cada uno de los ángulos BGH, BGK es recto. Y como BA es paralela a GH [Prop. XI.9], entonces los ángulos GBA, BGH son iguales a dos rectos [Prop. I.29]. Pero el ángulo BGH es recto; entonces el ángulo GBA es también recto; luego GB forma ángulos rectos con BA. Por lo mismo GB forma también ángulos rectos con BC. Pues bien, como la recta GB se ha levantado formando ángulos rectos con las dos rectas que se cortan BA, BC, entonces GB forma también ángulos rectos con el plano que pasa a través de BA, BC [Prop. XI.4]. Pero los planos con los que una misma recta forma ángulos rectos son planos paralelos [Prop. XI.14]; luego el plano que pasa a través de AB, BC es paralelo al plano que pasa a través de DE, EF.
Por consiguiente, si dos rectas que se tocan son paralelas a dos rectas que se tocan sin estar en el mismo plano, los planos que pasan a través de ellas son paralelos.
Q. E. D.