Si dos rectas son paralelas y una de ellas forma ángulos rectos con un plano cualquiera, la restante formará también ángulos rectos con el mismo plano.
Sean AB, CD dos rectas paralelas y una de ellas, AB, forme ángulos rectos con el plano de referencia . Digo que la restante, CD, formará también ángulos rectos con el mismo plano.
Pues únanse AB, CD con el plano de referencia en los puntos B, D, y trácese BD ; entonces AB, CD, BD están en un plano [Prop. XI.7]. Trácese DE formando ángulos rectos con BD en el plano de referencia y hágase DE igual a AB, y trácense BE, AE, AD . Y puesto que AB es ortogonal al plano de referencia, entonces AB forma ángulos rectos también con todas las rectas que la tocan y están en el plano de referencia [Def. XI.3]; luego cada uno de los ángulos ABD, ABE es recto. Y puesto que la recta BD ha incidido sobre las paralelas AB, CD, entonces los ángulos ABD, CDB son iguales a dos rectos [Prop. I.29]. Pero el ángulo ABD es recto; entonces el ángulo CDB es también recto; luego CD forma ángulos rectos con BD. Y como AB es igual a DE, y BD es común, entonces los dos lados AB, BD son iguales a los dos lados ED, DB; y el ángulo ABD es igual al ángulo EDB: porque cada uno de ellos es recto; luego la base AD es igual a la base BE. Y como AB es igual a DE, y BE a AD, entonces los dos lados AB, BE son iguales respectivamente a los dos lados ED, DA. Y AE es su base común; luego el ángulo ABE es igual al ángulo EDA. Pero el ángulo ABE es recto; entonces el ángulo EDA es también recto; así pues, ED forma ángulos rectos con AD. Pero forma ángulos rectos también con DB; luego ED forma también ángulos rectos con el plano que pasa a través de BD, DA [Prop. XI.4]. Entonces ED producirá ángulos rectos con todas las rectas que la tocan y están en el plano BDA. Pero DC está en el plano que pasa a través de BDA, teniendo en cuenta que AB, BD están en el plano que pasa a través de BDA [Prop. XI.2], y DC está también en el plano en el que están AB, BD. Entonces ED forma ángulos rectos con DC; de modo que CD también forma ángulos rectos con DE. Pero CD forma también ángulos rectos con BD. Luego CD está puesta formando ángulos rectos desde el punto de sección, D, con las dos rectas DE, DB que se cortan entre sí; de modo que CD forma también ángulos rectos con el plano que pasa a través de DE, DB [Prop. XI.4]. Pero el plano que pasa a través de DE, DB es el de referencia; luego CD forma ángulos rectos con el plano de referencia.
Por consiguiente, si dos rectas son paralelas y una de ellas forma ángulos rectos con un plano cualquiera, la restante formará también ángulos rectos con el mismo plano.
Q. E. D.