Si se levanta una recta formando ángulos rectos con tres rectas que se tocan, en su sección común, las tres rectas están en un plano.
Levántese, pues, una recta AB formando ángulos rectos con tres rectas BC, BD, BE , en su punto de contacto, B. Digo que BC, BD, BE están en un plano.
Pues, supongamos que no, y si fuera posible, estén BD, BE en el plano de referencia y BC en uno más elevado, prolónguese el plano que pasa a través de AB, BC; entonces producirá una recta como sección común en el plano de referencia [Prop. XI.3]. Produzca la recta BF . Así pues, las tres rectas AB, BC, BF están en un plano, el trazado a través de las rectas AB, BC. Y puesto que AB forma ángulos rectos con cada una de las rectas BD, BE, entonces AB es ortogonal también al plano que pasa a través de BD, BE [Prop. XI.4]. Y el plano que pasa a través de BD, BE es el de referencia; luego AB es ortogonal al plano de referencia. De modo que AB hará ángulos rectos con todas las rectas que la tocan y están en el plano de referencia [Def. XI.3]. Pero BF la toca y está en el plano de referencia; entonces el ángulo ABF es recto. Y se ha supuesto que el ángulo ABC también es recto; luego el ángulo ABF es igual al ángulo ABC. Y están en un plano: lo cual es imposible. Luego la recta BC no está en un plano más elevado; por tanto, las tres rectas BC, BD, BE están en un plano.
Por consiguiente, si se levanta una recta formando ángulos rectos con tres rectas que se tocan, en su punto de contacto, las tres rectas están en un plano.
Q. E. D.