Construir un ángulo sólido igual a un ángulo sólido dado sobre una recta dada y en uno de sus puntos.
Sea AB la recta dada y A el punto dado en ella y sea el ángulo correspondiente a A el ángulo dado, comprendido por los ángulos planos EDC , EDF , FDC . Así pues, hay que construir un ángulo sólido igual al ángulo sólido correspondiente a D sobre la recta AB y en su punto A.
Tómese al azar un punto F en la recta DF; trácese FG desde el punto F perpendicular al plano que pasa por ED, DC [Prop. XI.11], y únase con el plano en el punto G; trácese DG y constrúyase sobre la recta AB y en su punto A el ángulo BAL igual al ángulo EDC, y el ángulo BAK igual al ángulo EDG [Prop. I.23]; hágase AK igual a DG y levántese desde el punto K la recta KH formando ángulos rectos con el plano que pasa por BAL [Prop. XI.12]; hágase KH igual a GF y trácese HA . Digo que el ángulo sólido correspondiente a A, comprendido por los ángulos BAL , BAH , HAL es igual al ángulo sólido correspondiente a D, comprendido por los ángulos EDC, EDF, FDC.
Pues tómense las rectas iguales AB, DE y trácense HB, KB, FE, GE. Y como FG es ortogonal al plano de referencia, entonces hará ángulos rectos con todas las rectas que la tocan y están en el plano de referencia [Def. XI.3]; luego cada uno de los ángulos FGD, FGE es recto. Por lo mismo, cada uno de los ángulos HKA, HKB es también recto. Y como los dos lados KA, AB son iguales respectivamente a los dos lados GD, DE y comprenden ángulos iguales, entonces la base KB es igual a la base GE [Prop. I.4]. Pero KH es igual a GF; y comprenden ángulos rectos; entonces también HB es igual a FE [Prop. I.4]. Como los dos lados AK, KH son a su vez iguales a los dos lados DG, GF y comprenden ángulos rectos, entonces la base AH es igual a la base FD [Prop. I.4]. Pero AB es igual también a DE; entonces los dos lados HA, AB son iguales a los dos lados DF, DE. Y la base HB es igual a la base FE; luego el ángulo BAH es igual al ángulo EDF [Prop. I.8]. Por lo mismo, el ángulo HAL es también igual al ángulo FDC. Y el ángulo BAL es también igual al ángulo EDC.
Por consiguiente, se ha construido un ángulo sólido igual al ángulo sólido dado correspondiente a D, sobre la recta dada AB y en su punto dado A.
Q. E. F.