Trazar una línea recta perpendicular a un plano dado desde un punto elevado dado.
Sea A el punto elevado dado y sea el plano de referencia el plano dado . Así pues, hay que trazar una línea recta perpendicular al plano de referencia desde el punto A.
Trácese, pues, al azar, una recta BC en el plano de referencia , y trácese, desde el punto A, la recta AD perpendicular a BC [Prop. I.12]. Pues bien, si AD es perpendicular también al plano de referencia, habría resultado lo propuesto. Pero si no, trácese, desde el punto D, la recta DE formando ángulos rectos con BC en el plano de referencia [Prop. I.11] y desde A, la recta AF perpendicular a AE [Prop. I.12], y por el punto F, trácese GH paralela a BC [Prop. I.31]. Ahora bien, como BC forma ángulos rectos con cada una de las rectas DA, DE, entonces BC forma ángulos rectos también con el plano que pasa a través de EDA [Prop. XI.4]. Y GH es paralela a ella. Pero si dos rectas son paralelas y una de ellas forma ángulos rectos con un plano, la restante formará también ángulos rectos con el mismo plano [Prop. XI.8]; luego GH forma también ángulos rectos con el plano que pasa a través de ED, DA. Por tanto, GH forma ángulos rectos con todas las rectas que la tocan y están en el plano que pasa a través de ED, DA [Def. XI.3]. Pero AF que está en el plano que pasa a través de ED, DA la toca; luego GH forma ángulos rectos con FA. De modo que también FA forma ángulos rectos con HG. Pero AF forma ángulos rectos con DE; entonces AF forma ángulos rectos con cada una de las rectas GH, DE. Ahora bien, si se levanta una recta formando ángulos rectos con dos rectas que se cortan, en su punto de sección, formará también ángulos rectos con el plano que pasa a través de ellas [Prop. XI.4]. Luego FA forma ángulos rectos con el plano que pasa a través de ED, GH. Pero el plano que pasa a través de ED, GH es el plano de referencia; por tanto, AF forma ángulos rectos con el plano de referencia.
Por consiguiente, se ha trazado la línea recta AF perpendicular al plano de referencia, desde el punto elevado dado, A.
Q. E. F.