Si hay dos ángulos planos iguales y se levantan desde sus vértices rectas elevadas que comprendan ángulos iguales respectivamente con las rectas iniciales, y se toman unos puntos al azar en las rectas elevadas y, desde ellos, se trazan perpendiculares a los planos en los que están los ángulos iniciales y se trazan rectas de los puntos producidos en los planos a los vértices de los ángulos iniciales, éstos comprenderán con las rectas elevadas ángulos iguales.

Sean BAC, EDF dos ángulos rectilíneos iguales y levántense desde los puntos A, D, las rectas elevadas AG, DM que comprendan con las rectas iniciales ángulos iguales respectivamente, a saber: el ángulo MDE igual al ángulo GAB y el ángulo MDF al ángulo GAC; tómense al azar los puntos G, M en las rectas AG, DM, y trácense de los puntos G, M a los planos que pasan por BAC, EDF, las perpendiculares GL, MN y únanse a los planos en los puntos N, L, y trácense LA, ND. Digo que el ángulo GAL es igual al ángulo MDN.

Hágase AH igual a DM, y trácese por el punto H la recta HK paralela a GL. Pero GL es perpendicular al plano que pasa por BAC; entonces HK también es perpendicular al plano que pasa por BAC [Prop. XI.8]. Trácense desde los puntos K, N las perpendiculares KC, NF, KB, NE a las rectas AB, AC, DF, DE y trácense HC, HB, MF, FE. Puesto que el cuadrado de HA es igual a los cuadrados de HK, KA y los cuadrados de KC, CA son iguales al de KA [Prop. I.47], entonces el cuadrado de HA también es igual a los de HK, KC, CA. Pero el cuadrado de HC es igual a los de HK, KC [Prop. I.47]; entonces el cuadrado de HA es igual a los de HC, CA. Luego el ángulo HCA es recto [Prop. I.48]. Por lo mismo el ángulo DFM también es recto. Por tanto, el ángulo ACH es igual al DFM. Pero el ángulo HAC es igual al ángulo MDF. Luego MDF, HAC son dos triángulos que tienen dos ángulos iguales a dos ángulos respectivamente y un lado igual a un lado, el que subtiende uno de los ángulos iguales, es decir: el lado HA que es igual a MD; entonces tendrán los lados restantes iguales respectivamente a los lados restantes [Prop. I.26]. Por tanto, AC es igual a DF. De manera semejante demostraríamos que AB también es igual a DE. Pues bien, como AC es igual a DF y AB a DE, entonces los dos lados CA, AB son iguales a los dos lados FD, DE. Pero el ángulo CAB es igual también al ángulo FDE; entonces la base BC es igual a la base EF y el triángulo al triángulo y los ángulos restantes a los ángulos restantes [Prop. I.4]; por tanto, el ángulo ACB es igual al DFE. Pero el ángulo recto ACK es igual al ángulo recto DFN. Entonces el ángulo restante BCK es también igual al ángulo restante EFN. Por lo mismo, el ángulo CBK es igual al ángulo FEN. Luego BCK, EFN son dos triángulos que tienen dos ángulos iguales a dos ángulos respectivamente y un lado a un lado, el correspondiente a los ángulos iguales, es decir BC que es igual a EF; entonces tendrán los lados restantes iguales a los lados restantes [Prop. I.26], Luego CK es igual a FN. Pero AC es también igual a DF; luego los dos lados AC, CK son iguales a los dos lados DF, FN; y comprenden ángulos rectos. Por tanto, la base AK es igual a la base DN [Prop. I.4]. Y como AH es igual a DM, el cuadrado de AH es igual al cuadrado de DM. Pero los cuadrados de AK, KH son iguales al cuadrado de AH, porque el ángulo AKH es recto [Prop. I.47]; y los cuadrados de DN, NM son iguales al cuadrado de DM, porque el ángulo DNM es recto [Prop. I.47]. Entonces los cuadrados de AK, KH son iguales a los cuadrados de DN, NM y de ellos, el cuadrado de AK es igual al cuadrado de DN; luego el cuadrado restante de KH es igual al cuadrado de NM; por tanto, HK es igual a MN. Y como los dos lados HA, AK son iguales a los dos lados MD, DN respectivamente, y se ha demostrado que la base HK es igual a la base MN, entonces el ángulo HAK es igual al ángulo MDN [Prop. I.8].

Por consiguiente, si hay dos ángulos planos iguales, y lo que sigue del enunciado.

Q. E. D.

A partir de esto queda claro que, si hay dos ángulos planos iguales y se levantan desde ellos rectas iguales que comprendan ángulos iguales respectivamente con las rectas iniciales, las perpendiculares trazadas desde los extremos de ellas hasta los planos en los que están los ángulos iniciales, son iguales entre sí.