Los sólidos paralelepípedos semejantes guardan entre sí una razón triplicada de la de sus lados correspondientes.

Sean AB Paso 1, CD Paso 2 sólidos paralelepípedos semejantes y sea el lado AE correspondiente al lado CF. Digo que el sólido AB guarda con el sólido CD una razón triplicada de la que el lado AE guarda con el lado CF.

Sean EK, EL, EM el resultado de prolongar en línea recta las rectas AE, GE, HE Paso 3; hágase EK igual a CF, EL igual a FN, y además EM igual a FR; y complétense el paralelogramo KL y el sólido KO Paso 4. Ahora bien, como los dos lados KE, EL son iguales a los dos lados CF, FN, mientras que el ángulo KEL es igual al ángulo CFN: porque también el ángulo AEG es igual al ángulo CFN por la semejanza de los sólidos AB, CD; entonces el paralelogramo KL es igual al paralelogramo CN. Por lo mismo el paralelogramo KM es también igual y semejante al paralelogramo CR y además el paralelogramo EO al DF; luego tres paralelogramos del sólido KO son iguales y semejantes a tres paralelogramos del sólido CD. Pero los tres primeros son iguales y semejantes a sus tres opuestos y los otros tres a sus opuestos [Prop. XI.24]; luego el sólido entero KO es igual y semejante al sólido entero CD [Def. XI.10]. Complétese el paralelogramo GK y, tomando como bases los paralelogramos GK, KL y con la misma altura que la de AB, complétense los sólidos EQ Paso 5, LP Paso 6. Y puesto que, por la semejanza de los sólidos AB, CD, como AE es a CF, así EG a FN y EH a FR, mientras que CF es igual a EK, FN a EL y FR a EM, entonces, como AE es a EK, así GE a EL y HE a EM. Pero como AE es a EK, así el paralelogramo AG al paralelogramo GK, mientras que, como GE es a EL, así GK a KL, y como HE es a EM, así PE a KM [Prop. VI.1]; luego también, como el paralelogramo AG es al GK, así el paralelogramo GK al paralelogramo KL y el paralelogramo PE al paralelogramo KM. Pero como el paralelogramo AG es al paralelogramo GK, así el sólido AB al sólido EQ, mientras que, como el paralelogramo GK es al paralelogramo KL, así el sólido QE al sólido PL, y como el paralelogramo PE es al paralelogramo KM, así el sólido PL al sólido KO [Prop. XI.32]; luego, como el sólido AB es al sólido EQ, así el sólido EQ al sólido PL y el sólido PL al sólido KO. Pero si cuatro magnitudes están en proporción continua, la primera guarda con la cuarta una razón triplicada de la que guarda con la segunda [Def. V.10]; luego el sólido AB guarda con el sólido KO una razón triplicada de la que AB guarda con EQ. Pero como el sólido AB es al sólido EQ, así el paralelogramo AG al paralelogramo GK y la recta AE a la recta EK [Prop. VI.1]; de modo que el sólido AB guarda con el sólido KO una razón triplicada de la que AE guarda con EK. Ahora bien, el sólido KO es igual al sólido CD, y la recta EK a la recta CF; por tanto, el sólido AB guarda con el sólido CD una razón triplicada de la que su lado correspondiente AE guarda con el lado correspondiente CF.

Por consiguiente, los paralelepípedos semejantes guardan entre sí una razón triplicada de la de sus lados correspondientes.

Q. E. D.

A partir de esto queda claro que, si cuatro rectas son proporcionales, como la primera es a la cuarta, así el sólido paralelepípedo construido a partir de la primera al semejante y construido de manera semejante sobre la segunda, porque también la primera guarda con la cuarta una razón triplicada de la que guarda con la segunda.