Construir un ángulo sólido a partir de tres ángulos planos, dos de los cuales tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante; entonces, es necesario que los tres ángulos sean menores que cuatro rectos.

Sean ABC, DEF, GKH los tres ángulos planos dados, dos de los cuales tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante, siendo los tres además menores que cuatro rectos. Así pues hay que construir un ángulo sólido a partir de ángulos iguales a ABC, DEF, GHK.

Tómense las rectas iguales AB, BC, DE, EF, GH, HK, y trácense AC, DF, GK [Prop. XI.22]. Entonces es posible construir un triángulo a partir de rectas iguales a AC, DF, GK [Prop. XI.22]. Constrúyase y sea LMN, de modo que AC sea igual a LM, DF a MN y además GK a NL, y circunscríbase en torno al triángulo LMN el círculo LMN, tómese su centro y sea Q y trácense LQ, MQ, NQ. Digo que AB es mayor que LQ. Pues, si no, o AB es igual a LQ o es menor. En primer lugar sea igual. Y como AB es igual a LQ, mientras que AB es igual a BC y QL a QM, entonces los dos lados AB, BC son iguales respectivamente a los dos lados LQ, QM; y se ha supuesto que la base AC es igual a la base LM; luego el ángulo ABC es igual al ángulo LQM [Prop. I.8]. Por la misma razón el ángulo DEF es igual al ángulo MQN y además el ángulo GHK es igual al ángulo NQL, luego los tres ángulos ABC, DEF, GHK son iguales a los tres ángulos LQM, MQN, NQL. Pero los tres ángulos LQM, MQN, NQL son iguales a cuatro rectos, entonces los tres ángulos ABC, DEF, GHK son iguales a cuatro rectos. Pero se ha supuesto que son menores que cuatro rectos; lo cual es absurdo. Luego AB no es igual a LQ. Digo además que AB tampoco es menor que LQ.

Porque si fuera posible sea así y hágase QO igual a AB, QP igual a BC y trácese OP. Ahora bien, como AB es igual a BC, QO es igual a QP; de modo que la recta restante LO es igual a PM. Entonces LM es paralela a OP [Prop. VI.2] y LMQ, OPQ son equiangulares [Prop. I.29]; luego, como QL es a LM, así QO a OP [Prop. VI.4]; y por alternancia, como LQ es a QO, así LM a OP [Prop. V.16]. Pero LE es mayor que QO; entonces LM es mayor que OP. Pero LM se ha hecho igual a AC. luego AC es también mayor que OP. Pues bien, como los dos lados AB, BC son iguales a los dos lados OQ, QP, y la base AC es mayor que la base OP, entonces el ángulo ABC es mayor que el ángulo OQP [Prop. I.25]. De manera semejante demostraríamos que el ángulo DEF es también mayor que el ángulo MQN y el ángulo GHK mayor que el ángulo NQL. Por tanto, los tres ángulos ABC, DEF, GHK son mayores que los tres ángulos LQM, MQN, NQL. Pero se ha supuesto que los ángulos ABC, DEF, GHK son menores que cuatro rectos; entonces los ángulos LQM, MQN, NQL son mucho menores que cuatro rectos. Pero también iguales, lo cual es absurdo. Luego AB no es menor que LQ. Pero se ha demostrado que tampoco es igual; por tanto AB es mayor que LQ. Levántese desde el punto Q la recta QR formando ángulos rectos con el plano del círculo LMN [Prop. XI.12]; y sea el cuadrado de QR igual al área en la que el cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de LE [Lema Prop. XI.23], y trácense RL, RM, RN. Ahora bien, como RQ forma ángulos rectos con el plano del círculo LMN, entonces RQ forma también ángulos rectos con cada una de las rectas LQ, MQ, NQ. Y como LQ es igual a QM y QR es común y forma ángulos rectos, entonces la base RL es igual a la base RM [Prop. I.4]. Por lo mismo RN es igual a cada una de las rectas RL, RM; entonces las tres rectas RL, RM, RN son iguales entre sí. Y como se ha supuesto que el cuadrado de QR es igual al área en la que el cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de LE, entonces el cuadrado de AB es igual a los cuadrados de LQ, QR. Pero el cuadrado de LR es igual a los cuadrados de LQ, QR: porque el ángulo LQR es recto [Prop. I.47]; entonces el cuadrado de AB es igual al cuadrado de RL; luego AB es igual a RL. Pero cada una de las rectas BC, DE, EF, GH, HK es igual a AB, y cada una de las rectas RM, RN es igual a RL; entonces cada una de las rectas AB, BC, DE, EF, GH, HK es igual a cada una de las rectas RL, RM, RN. Ahora bien, como los dos lados LR, RM son iguales a los dos lados AB, BC y se ha supuesto que la base LM es igual a la base AC, entonces el ángulo LRM es igual al ángulo ABC [Prop. I.8]. Por lo mismo, el ángulo MRN es igual al ángulo DEF y el ángulo LRN al ángulo GHK. Por consiguiente, a partir de los tres ángulos planos LRM, MRN, LRN que son iguales a los tres dados ABC, DEF, GHK, se ha construido el ángulo sólido correspondiente a R comprendido por los ángulos LRM, MRN, LRN.

Q. E. F.

Demostraríamos como sigue de qué manera se puede tomar el cuadrado de QR igual al área en la que el cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de LQ: Pónganse las rectas AB, LQ, y sea AB mayor, y descríbase sobre ella el semicírculo ABC, y adáptese al semicírculo ABC la recta AC igual a la recta LQ que no sea mayor que el diámetro AB [Prop. IV.1]; y trácese CB. Así pues, como ACB es un ángulo en el semicírculo ACB, entonces el ángulo ACB es recto [Prop. III.31]. Luego el cuadrado de AB es igual a los cuadrados de AC, CB [Prop. I.47]. De modo que el cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de AC en el cuadrado de CB. Pero AC es igual a LQ. Luego el cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de LQ en el cuadrado de CB. Pues bien, si tomamos la recta QR igual a BC, el cuadrado de AB es mayor que el cuadrado de LQ en el cuadrado de QR. Que es lo que se ha propuesto hacer.