Si hay tres ángulos planos, dos de los cuales tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante, y los comprenden rectas iguales, es posible construir un triángulo a partir de las rectas que unen los extremos de las rectas iguales.
Sean ABC, DEF, GHK tres ángulos planos , dos de los cuales tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante, a saber: los ángulos ABC, DEF mayores que el ángulo GHK, los ángulos DEF, GHK mayores que ABC y además los ángulos GHK, ABC mayores que DEF. Y sean iguales las rectas AB, BC, DE, EF, GH, HK, y trácense AC, DF, GK . Digo que es posible construir un triángulo a partir de rectas iguales a AC, DF, GK, es decir, que dos cualesquiera de las rectas AC, DF, GK son mayores que la restante.
Pues si los ángulos ABC, DEF, GHK son iguales entre sí, está claro que, siendo también iguales AC, DF, GK, es posible construir un triángulo a partir de las rectas iguales a AC, DF, GK. Pero si no, sean desiguales y constrúyase en la recta HK y en su punto H el ángulo KHL igual al ángulo ABC, y hágase HL igual a una de las rectas AB, BC, DE, EF, GH, HK , y trácense KL, GL . Ahora bien, puesto que los dos lados AB, BC son iguales a los dos lados KH, HL, y el ángulo correspondiente a B es igual al ángulo KHL, entonces la base AC es igual a la base KL [Prop. I.4]. Y como los ángulos ABC, GHK son mayores que el ángulo DEF y el ángulo DEF y el ángulo ABC es igual al ángulo KHL, entonces el ángulo GHL es mayor que el ángulo DEF. Y como los dos lados GH, HL son iguales a los dos lados DE, EF y el ángulo GHL es mayor que el ángulo DEF, entonces la base GL es mayor que la base DF [Prop. I.24]. Pero GL, KL son mayores que GL. Así pues, GK, KL son mucho mayores que DF. Pero KL es igual a AC; luego AC, GK son mayores que la restante DF. De manera semejante demostraríamos que AC, DF son también mayores que GK, y además DF, GK son mayores que AC.
Por consiguiente, es posible construir un triángulo a partir de rectas iguales a las rectas AC, DF, GK.
Q. E. D.