Los conos y cilindros semejantes guardan entre sí una razón triplicada de la que guardan los diámetros de sus bases.
Sean unos cilindros y conos semejantes cuyas bases son los círculos ABCD, EFGH; BD, FH los diámetros de sus bases y KL, MN los ejes de los conos y los cilindros . Digo que el cono cuya base es el círculo ABCD y su vértice el punto L guarda con el cono cuya base es el círculo EFGH y su vértice el punto N una razón triplicada de la que BD guarda con FH.
Pues, si el cono ABCDL no guarda con el cono EFGHN una razón triplicada de la que BD guarda con FH, el cono ABCDL guardará una razón triplicada con un sólido menor que el cono EFGHN o con uno mayor. Guárdela, en primer lugar, con el sólido menor Q e inscríbase el cuadrado EFGH en el círculo EFGH [Prop. IV.6]; entonces el cuadrado EFGH es mayor que la mitad del círculo EFGH. Levántese sobre el cuadrado EFGH una pirámide que tenga la misma altura que el cono ; entonces la pirámide levantada es mayor que la mitad del cono. Ahora, divídanse en dos partes iguales las circunferencias EF, FG, GH, HE por los puntos O, P, R, S, y trácense EO, OF, FP, PG, GR, RH, HS, SE . Entonces cada uno de los triángulos EOF, FPG, GRH, HSE es mayor que la mitad del segmento del círculo EFGH en el que está; levántese sobre cada uno de los triángulos EOF, FPG, GRH, HSE una pirámide que tenga el mismo vértice que el cono; entonces cada una de las pirámides levantadas es también mayor que la mitad del segmento de cono en el que está. Ahora, si dividimos en dos partes iguales las circunferencias que quedan y trazamos rectas uniendo los puntos de división y levantamos sobre cada uno de los triángulos pirámides que tengan el mismo vértice que el cono y procedemos así sucesivamente dejaremos ciertos segmentos de cono que serán menores que el exceso con el que el cono EFGHN excede al sólido Q [Prop. X.1]. Déjense y sean los de EO, OF, FP, PG, GR, RH, HS, SE; entonces, la pirámide restante cuya base es el polígono EOFPGRHS y su vértice el punto N es mayor que el sólido Q. Inscríbase también en el círculo ABCD el polígono ATBYCUDX semejante y situado de manera semejante al polígono EOFPGRHS, y levántese sobre el polígono ATBYCUDX una pirámide que tenga el mismo vértice que el cono y sea LBT uno de los triángulos que comprenden la pirámide cuya base es el polígono ATBYCUDX y su vértice el punto L y sea NFO uno de los triángulos que comprenden la pirámide cuya base es el polígono EOFPGRHS y su vértice el punto N, y trácense KT, MO. Ahora bien, como el cono ABCDL es semejante al cono EFGHN, entonces, como BD es a FH, así el eje KL al eje MN [Def. XI.24]. Pero, como BD es a FH, así BK a FM; luego, como BK es a FM, así KL a MN. Y, por alternancia, como BK es a KL, así FM a MN [Prop. V.16]. Ahora bien, los lados que comprenden los ángulos iguales BKL, FMN son proporcionales; entonces, el triángulo BKL es semejante al triángulo FMN [Prop. VI.6]. A su vez, dado que, como BK es a KT, así FM a MO, y comprenden los ángulos iguales BKT, FMO: porque la parte que el ángulo BKT es de los cuatro ángulos rectos correspondientes al centro K, la misma parte es también el ángulo FMO de los cuatro ángulos rectos correspondientes al centro M; pues bien, como los lados que comprenden ángulos iguales son proporcionales, entonces el triángulo BKT es semejante al triángulo FMO [Prop. VI.6]. A su vez, puesto que se ha demostrado que, como BK es a KL, así FM a MN, y BK es igual a KT mientras que FM es igual a OM, entonces, como TK es a KL, así OM a MN. Y los lados que comprenden los ángulos iguales TKL, OMN —porque son rectos— son proporcionales; luego el triángulo LKT es semejante al triángulo NMO [Prop. VI.6]. Y como, por la semejanza de los triángulos LKB, NMF, como LB es a BK, así NF a FM, y por la semejanza de los triángulos BKT, FMO, como KB es a BT, así MF a FO, entonces, por igualdad, como LB es a BT, así NF a FO [Prop. V.22]. A su vez, dado que, por la semejanza de los triángulos LTK, NOM, como LT es a TK, así NO a OM, y por la semejanza de los triángulos TKB, OMF, como KT es a TB, así MO a OF, entonces, por igualdad, como LT es a TB, así NO a OF [Prop. V.22]. Pero se ha demostrado que también, como TB es a BL, así OF a FN. Luego, por igualdad, como TL es a LB, así ON a NF [Prop. V.22]. Por tanto, los lados de los triángulos LTB, NOF son proporcionales; luego los triángulos LTB, NOF son equiangulares [Prop. VI.5]; de modo que también son semejantes [Def. VI.1]. Por tanto, la pirámide cuya base es el triángulo BKT y su vértice el punto L es semejante a la pirámide cuya base es el triángulo FMO y su vértice el punto N. Pues están comprendidas por planos semejantes e iguales en número [Def. XI.9]. Pero las pirámides semejantes que tienen como bases triángulos guardan entre sí una razón triplicada de la que guardan sus lados correspondientes [Prop. XII.8]. Luego la pirámide BKTL guarda con la pirámide FMON una razón triplicada de la que BK guarda con FM. De manera semejante, si trazamos rectas de los puntos A, X, D, U, C, Y al punto K y de los puntos E, S, H, R, G, P al punto M, y levantamos sobre cada uno de los triángulos pirámides que tengan el mismo vértice que los conos, demostraremos que cada una de las pirámides dispuestas de manera semejante guarda con cada una de las pirámides dispuestas de manera semejante una razón triplicada de la que el lado correspondiente BK guardará con el lado correspondiente FM, es decir, de la que BD guarda con FH. Y como uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes, así todos los antecedentes a todos los consecuentes [Prop. V.12]; entonces, como la pirámide BKTL es a la pirámide FMON, así la pirámide entera cuya base es el polígono ATBYCUDX y su vértice el punto L a la pirámide entera cuya base es el polígono EOFPGRHS y su vértice el punto N; de modo que también la pirámide cuya base es ATBYCUDX y su vértice el punto L guarda con la pirámide cuya base es el polígono EOFPGRHS y su vértice el punto N una razón triplicada de la que BD guarda con FH. Pero se ha supuesto que también el cono cuya base es el círculo ABCD y su vértice el punto L guarda con el sólido Q una razón triplicada de la que BD guarda con FH; entonces, como el cono cuya base es el círculo ABCD y su vértice el punto L es al sólido Q, así la pirámide cuya base es el polígono ATBYCUDX y su vértice el punto L es a la pirámide cuya base es el polígono EOFPGRHS y su vértice el punto N. Entonces, por alternancia, como el cono cuya base es el círculo ABCD y su vértice el punto L es a la pirámide inscrita en él, cuya base es el polígono ATBYCUDX y su vértice el punto L, así el sólido Q a la pirámide cuya base es el polígono EOFPGRHS y su vértice el punto N [Prop. V.16]. Pero el antedicho cono es mayor que la pirámide inscrita en él: porque la comprende. Entonces el sólido Q es también mayor que la pirámide cuya base es el polígono EOFPGRHS y su vértice el punto N. Pero también es menor; lo cual es imposible. Por tanto, el cono cuya base es el círculo ABCD y su vértice el punto L no guarda con un sólido menor que el cono cuya base es el círculo EFGH y su vértice el punto N una razón triplicada de la que BD guarda con FH. De manera semejante demostraríamos que tampoco el cono EFGHN guarda con un sólido menor que el cono ABCDL una razón triplicada de la que FH guarda con BD. Digo ahora que tampoco el cono ABCDL guarda con un sólido mayor que el cono EFGHN una razón triplicada de la que BD guarda con FH. Pues, si fuera posible, guárdela con el sólido mayor Q. Entonces, por inversión, el sólido Q guarda con el cono ABCDL una razón triplicada de la que FH guarda con BD. Pero, como el sólido Q es al cono ABCDL, así el cono EFGHN a un sólido menor que el cono ABCDL. Entonces, también, el cono EFGHN guarda con un sólido menor que el cono ABCDL una razón triplicada de la que FH guarda con BD; lo cual se ha demostrado que es imposible; luego el cono ABCDL no guarda con un sólido mayor que el cono EFGHN una razón triplicada de la que BD guarda con FH. Pero se ha demostrado que tampoco con uno menor. Por tanto, el cono ABCDL guarda con el cono EFGHN una razón triplicada de la que BD guarda con FH. Ahora bien, como el cono es al cono, así el cilindro al cilindro: porque el cilindro es el triple del cono que está sobre la misma base y tiene igual altura que el propio cono [Prop. XII.10]. Luego el cilindro guarda con el cilindro una razón triplicada de la que BD guarda con FH.
Por consiguiente, los conos y cilindros semejantes guardan entre sí una razón triplicada de las de los diámetros de sus bases.
Q. E. D.