Circunscribir un círculo en torno a un triángulo dado.

Sea ΑΒC el triángulo dado Paso 1. Así pues, hay que circunscribir un círculo en torno al triángulo dado ΑΒC.

Divídanse en dos partes iguales las rectas ΑΒ, ΑC por los puntos D, E [Prop. I.10]Paso 2, y a partir de los puntos D, E trácense DF, ΕF formando ángulos rectos con ΑΒ, ΑC Paso 3; entonces coincidirán o bien dentro del triángulo ΑΒC o sobre la recta ΒC o fuera de ΒC.

Coincidan en primer lugar dentro en el punto F, y trácense FΒ, FC, FΑ Paso 4. Y como ΑD es igual a DΒ, y DF es común y forma ángulos rectos, entonces la base ΑF es igual a la base FΒ [Prop. I.4]. De manera semejante demostraríamos que CF es también igual a ΑF, de modo que FΒ es también igual a FC; por tanto, las tres rectas FΑ, FΒ, FC son iguales entre sí. Luego el círculo descrito con el centro F y como distancia una de las rectas FΑ, FΒ, FC pasará también por los puntos restantes Paso 5, y el círculo estará circunscrito en torno al triángulo ΑΒC. Circunscríbase como ΑΒC. Ahora bien, coincidan DF, ΕF sobre la recta ΒC en el punto F como está en el segundo dibujo, y trácese ΑF. De manera semejante demostraríamos que el punto F es el centro del círculo circunscrito en torno al triángulo ΑΒC. Ahora bien, coincidan DF, ΕF fuera del triángulo ΑΒC en el punto F de nuevo, como está en el tercer dibujo, y trácense ΑF, ΒF, CF. Y como ΑD es de nuevo igual a DΒ y DF es común y forma ángulos rectos, entonces la base ΑF es igual a la base ΒF [Prop. I.4]. De manera semejante demostraríamos que CF también es igual a ΑF, de modo que ΒF también es igual a FC; por tanto, el círculo descrito con el centro F y como distancia una de las rectas FΑ, FΒ, FC pasará también por los puntos restantes, y estará circunscrito en torno al triángulo ΑΒC.

Por consiguiente, se ha circunscrito un círculo en torno al triángulo dado.

Q. E. F.

Y queda claro que, cuando el centro del círculo cae dentro del triángulo, el ángulo ΒΑC que se encuentra en un segmento mayor que el semicírculo es menor que un recto; cuando el centro cae sobre la recta ΒC, el ángulo ΒΑC que se encuentra en el semicírculo es recto; cuando el centro del círculo cae fuera del triángulo, el ángulo ΒΑC que se encuentra en un segmento menor que el semicírculo es mayor que un recto [Prop. III.31]. De modo que cuando el ángulo dado es menor que un recto, ΑF, ΕF caerán dentro del triángulo, cuando es recto, sobre ΒC, cuando es mayor que un recto, fuera de ΒC.