Inscribir un circulo en un cuadrado dado.
Sea ΑΒCD el cuadrado dado .
Así pues, hay que inscribir un círculo en el cuadrado ΑΒCD.
Divídase en dos partes iguales cada una de las rectas ΑD, ΑΒ por los puntos Ε, F, respectivamente [Prop. I.10]
,
y a través de E trácese ΕH paralela a una de las dos rectas ΑΒ, CD ,
y a través de F trácese FΚ paralela a una de las dos rectas ΑD, ΒC [Prop. I.31]
; entonces cada una de las figuras ΑΚ, ΚΒ, ΑH, HD, ΑG, GC, ΒG, GD es un paralelogramo,
y los lados opuestos evidentemente son iguales [Prop. I.34], Y como ΑD es igual a ΑΒ, y ΑΕ es la mitad de ΑD,
mientras que ΑF es la mitad de ΑΒ, entonces ΑΕ es igual a ΑF; de modo que los lados opuestos también son iguales; por tanto, FG es también igual a GΕ.
De manera semejante demostraríamos que cada una de las rectas GG, GΚ es igual a cada una de las rectas FG, GΕ; por tanto, las cuatro rectas GΕ, GF, GH, GΚ son iguales entre sí.
Luego el círculo descrito con el centro G y como distancia una de las rectas GΕ, GF, GH, GΚ pasará también por los puntos restantes ; y tocará las rectas ΑΒ, ΒC, CD, DΑ
por ser rectos los ángulos correspondientes a Ε, F, G, Κ; porque si el círculo cortara las rectas ΑΒ, ΒC, CD, DΑ, la recta trazada formando ángulos rectos con el diámetro
del círculo desde un extremo caería dentro del círculo; lo que se ha demostrado que es absurdo [Prop. III.16]. Por tanto, el círculo trazado
con el centro G y como distancia una de las rectas GΕ, GF, GH, GΚ no corta las rectas ΑΒ, ΒC, CD, DΑ. Luego las tocará y estará inscrito en el cuadrado ΑΒCD.
Por consiguiente, se ha inscrito un círculo en el cuadrado dado.
Q. E. F.