Inscribir un pentágono equilátero y equiángulo en un círculo dado.

Sea ΑΒCDΕ el círculo dado Paso 1. Así pues, hay que inscribir un pentágono equilátero y equiángulo en el círculo ΑΒCDΕ.

Tómese el triángulo isósceles FGH cada uno de cuyos ángulos correspondientes a G, H sea el doble del correspondiente a F [Prop. IV.10] Paso 2, e inscríbase en el círculo ΑΒCDΕ el triángulo ΑCD de ángulos iguales a los de FGH, de modo que el ángulo CΑD sea igual al ángulo correspondiente a F y los ángulos correspondientes a G, H sean iguales respectivamente a los ángulos ΑCD, CDΑ [Prop. IV.2]Paso 3; por tanto, cada uno de los ángulos ΑCD, CDΑ es también el doble de CΑD. Entonces divídase en dos partes iguales cada uno de los ángulos ΑCD, CDΑ con las rectas CΕ, DΒ, respectivamente Paso 4, y trácense ΑΒ, ΒC, DΕ, ΕΑ Paso 5. Así pues, como cada uno de los ángulos ΑCD, CDΑ es el doble de CΑD, y ha sido dividido en dos partes iguales mediante las rectas CΕ, DΒ, entonces los cinco ángulos DΑC, ΑCΕ, ΕCD, CDΒ, ΒDΑ son iguales entre sí. Pero los ángulos iguales están sobre circunferencias iguales [Prop. III.26]; por tanto, las cinco circunferencias ΑΒ, ΒC, CD, DΕ, ΕΑ son iguales entre sí. Pero a las circunferencias iguales las subtienden rectas iguales [Prop. III.29]; por tanto, las cinco rectas ΑΒ, ΒC, CD, DΕ, ΕΑ son iguales entre sí; luego el pentágono ΑΒCDΕ es equilátero. Digo además que es también equiángulo.

Pues como la circunferencia ΑΒ es igual a la circunferencia DΕ, añádase a ambas ΒCD; entonces la circunferencia entera ΑΒCD es igual a la circunferencia entera ΕDCΒ. Ahora bien, el ángulo ΕΑD está sobre la circunferencia ΑΒCD, y el ángulo ΒΑΕ sobre la circunferencia ΕDCΒ; por tanto, el ángulo ΒΑΕ es igual al ángulo ΑΕD [Prop. III.27]. Por lo mismo, cada uno de los ángulos ΑΒC, ΒCD, CDΕ es igual a cada uno de los ángulos ΒΑΕ, ΑΕD; luego el pentágono ΑΒCDΕ es equiángulo Paso 6. Pero se ha demostrado que también es equilátero.

Por consiguiente, se ha inscrito un pentágono equilátero y equiángulo en el círculo dado.

Q. E. F.