Inscribir un hexágono equilátero y equiángulo en un círculo dado.
Sea ΑΒCDΕ el círculo dado .
Así pues, hay que inscribir un hexágono equilátero y equiángulo en el círculo ΑΒCDΕF.
Trácese el diámetro ΑD del círculo ΑΒCDΕF, y tómese el centro G del círculo ,
y con el centro D y la distancia DG descríbase el círculo ΕGCH ,
y una vez trazadas ΕG, CG llévense hasta los puntos Β, F ,
y trácense ΑΒ, ΒC, CD, DΕ, ΕF, FΑ .
Digo que el hexágono ΑΒCDΕF es equilátero y equiángulo.
Pues como el punto G es el centro del círculo ΑΒCDΕF, he es igual a GD. Como el punto D es a su vez el centro del círculo GCG, DΕ es igual a DG.
Pero se ha demostrado que he es igual a GD; por tanto, he es también igual a ΕD; luego el triángulo ΕGD es equilátero; entonces sus tres ángulos ΕGD, GDΕ, DΕG son iguales entre sí,
porque los ángulos de la base de los triángulos isósceles son iguales entre sí [Prop. I.5]; y los tres ángulos de un triángulo
son iguales a dos rectos [Prop. I.32]; por tanto, el ángulo ΕGD es la tercera parte de dos rectos .
De manera semejante se demostraría que también el ángulo DGC es la tercera parte de dos rectos. Y como la recta CG levantada sobre ΕΒ hace los ángulos adyacentes ΕGC, CGΒ iguales a dos rectos, entonces el ángulo restante CGΒ es también la tercera parte de dos rectos; por tanto, los ángulos ΕGD, DGC, CGΒ son iguales entre sí; de modo que los ángulos ΒGΑ, ΑGF, FGΕ correspondientes a sus vértices son iguales [Prop. I.15]. Luego los seis ángulos ΕGD, DGC, CGΒ, ΒGΑ, ΑGF, FGΕ son iguales entre sí. Pero los ángulos iguales están sobre circunferencias iguales [Prop. III.26]; por tanto, las seis circunferencias ΑΒ, ΒC, CD, DΕ, ΕF, FΑ son iguales entre sí. Pero a las circunferencias iguales las subtienden rectas iguales [Prop. III.29]. Por tanto, las seis rectas son iguales entre sí; luego el hexágono ΑΒCDΕF es equilátero.
Digo, además, que es también equiángulo.
Pues como la circunferencia FΑ es igual a la circunferencia ΕD añádase a ambos la circunferencia ΑΒCΑ; entonces la circunferencia entera FΑΒCD es igual a la circunferencia entera ΕDCΒΑ; y el ángulo FΕD está sobre la circunferencia FΑΒCΑ, y el ángulo ΑFΕ sobre la circunferencia ΕDΡΒΑ; por tanto, el ángulo ΑFΕ es igual al ángulo DΕF [Prop. III.27]. De manera semejante se demostraría que también los ángulos restantes del hexágono ΑΒCDΕF son cada uno igual a uno de los ángulos ΑFΕ, FΕΑ; por tanto, el hexágono ΑΒCDΕF es equiángulo. Pero se ha demostrado que es también equilátero; y ha sido inscrito en el círculo ΑΒCDΕF.
Por consiguiente, se ha inscrito un hexágono equilátero y equiángulo en el círculo dado.
Q. E. F.
A partir de esto queda claro que el lado del hexágono es igual al radio del círculo.
De manera semejante al caso del pentágono, si trazamos tangentes al círculo a través de los puntos de división del círculo, se circunscribirá en torno al círculo un hexágono equilátero y equiángulo conforme a lo dicho sobre el pentágono; y además, por procedimientos semejantes a los expuestos en el caso del pentágono inscribiríamos y circunscribiríamos un círculo en un hexágono dado.