Construir un triángulo isósceles cada uno de cuyos ángulos de la base sea el doble del restante.
Tómese una recta ΑΒ y córtese por el punto C de modo que el rectángulo comprendido por ΑΒ, ΒC sea igual al cuadrado de CΑ [Prop. II.11]
;
y con el centro A y la distancia ΑΒ descríbase el círculo ΒDΕ .
Y adáptese al círculo ΒDΕ la recta ΒD igual a la recta ΑC que no es mayor que el diámetro del círculo ΒDΕ [Prop. IV.1]
;
y trácense ΑD, ΑC
y circunscríbase en torno al triángulo ΑCD el círculo ΑCD [Prop. IV.5]·
Ahora bien, como el rectángulo comprendido por ΑΒ, ΒC es igual al cuadrado de ΑC, y ΑC es igual a ΒD, entonces el rectángulo comprendido por ΑΒ, ΒC es igual al cuadrado de ΒD. Y como se ha tomado el punto Β exterior al círculo ΑCD, y desde Β hasta el círculo ΑCD han caído dos rectas ΒΑ, DD y una de ellas lo corta mientras que la otra cae en él, y el rectángulo comprendido por ΑΒ, ΒC es igual al cuadrado de ΒD, entonces ΒD toca el círculo ΑCD [Prop. III.37]. Así pues, como ΒD lo toca, y DC ha sido trazada desde el punto de contacto D, entonces el ángulo ΒDC es igual al ángulo DΑC en el segmento alterno del círculo [Prop. III.32]. Así pues, como el ángulo ΒDC es igual al ángulo DΑC, añádase a ambos el ángulo CDΑ; entonces el ángulo entero ΒDΑ es igual a los dos ángulos CDΑ, DΑC. Pero el ángulo externo ΒCD es igual a los ángulos CDΑ, DΑC [Prop. I.32]; luego el ángulo ΒDΑ es también igual al ángulo ΒCD. Pero el ángulo ΒDΑ es igual al ángulo CΒΑ, puesto que el lado ΑD es también igual al lado ΑΒ [Prop. I.5]; de modo que el ángulo DΒΑ es igual al ángulo ΒCD.
Por tanto, los tres ángulos ΒDΑ, DΒΑ, ΒCD son iguales entre sí. Y como el ángulo DΒC es igual al ángulo ΒCD, el lado ΒD es también igual al lado DC
[Prop. I.6]. Pero ΒD es por hipótesis igual a CΑ; entonces CΑ es también igual a CD; de modo que el ángulo CDΑ es también igual
al ángulo DΑC [Prop. I.5]: por tanto, los ángulos CDΑ, DΑC son el doble del ángulo DΑC. Pero el ángulo ΒCD es igual a los ángulos
CDΑ, DΑC; luego el ángulo ΒCD es también el doble del ángulo CDΑ. Pero el ángulo ΒCD es igual a cada uno de los ángulos ΒDΑ, DΒΑ; por tanto, cada uno de los
ángulos ΒDΑ, DΒΑ es también el doble del ángulo DΑΒ .
Por consiguiente, se ha construido un triángulo isósceles ΑΒD cada uno de cuyos ángulos de la base DΒ es el doble del ángulo restante.
Q. E. F.