Inscribir un circulo en un triángulo dado.
Sea ΑΒC el triángulo dado .
Así pues, hay que inscribir un círculo en el triángulo ΑΒC.
Divídanse en dos partes iguales los ángulos ΑΒC, ΑCΒ con las rectas ΒD, CD [Prop. I.9]
y encuéntrense estas en el punto D ;
trácense desde el punto D hasta las rectas ΑΒ, ΒC, CΑ las perpendiculares DΕ, DF, DG .
Ahora bien, como el ángulo ΑΒD es igual al ángulo CΒD, y el ángulo recto ΒΕD es también igual al ángulo recto ΒFD, entonces ΕΒD, FΒD son dos triángulos
que tienen dos ángulos iguales a dos ángulos, y un lado igual a un lado, a saber: ΒD que subtiende a uno de los ángulos iguales y es común a ellos a los dos triángulos,
entonces tendrán también los lados restantes iguales a los lados restantes [Prop. I.26]; por tanto, DΕ es igual a DF
.
Por lo mismo, DG es igual a DF. Luego las tres rectas DΕ, DF, DG son iguales entre sí; por tanto, el círculo descrito con el centro D
y como distancia una de las rectas DΕ, DF, DG pasará también por los puntos restantes y tocará las rectas ΑΒ, ΒC, CΑ por ser rectos los ángulos correspondientes
a los puntos Ε, F, G. Pues, si las cortara, la recta trazada perpendicular al diámetro de un círculo en un extremo caería dentro del círculo;
lo cual se ha demostrado que es absurdo [Prop. III.16]; por tanto, el círculo descrito con el centro D
y como distancia una de las rectas DΕ, DF, DG no cortará las rectas ΑΒ, ΒC, CΑ; luego las tocará y el círculo estará inscrito
en el triángulo ΑΒC [Def. III.5][III, Def. 5], Inscríbase como FGΕ.
Por consiguiente, se ha inscrito el círculo ΕFG en el triángulo dado ΑΒC.
Q. E. F.