Circunscribir en torno a un círculo dado un triángulo de ángulos iguales a los de un triángulo dado.

Sea ΑΒC el círculo dado, y DΕF el triángulo dado. Así pues, hay que circunscribir en torno al círculo ΑΒC un triángulo de ángulos iguales a los del triángulo DΕF.

Prolónguese ΕF en ambos sentidos hasta los puntos G, H, y tómese el centro Κ del círculo ΑΒC [Prop. III.1], y trácese una recta cualquiera ΚΒ, y constrúyase en la recta ΚΒ y en su punto Κ el ángulo ΒΚΑ igual al ángulo DΕG, y el ángulo ΒΚC igual al ángulo DFG [Prop. I.23], y a través de los puntos A, Β, C, trácense LΑΜ, ΜΒΝ, ΝCL tangentes al círculo ΑΒC [Cor. Prop. III.16].

Ahora bien, como las rectas LΜ, ΜΝ, no tocan el círculo ΑΒC en los puntos Α, Β, C, y ΚΑ, ΚΒ, ΚC se han trazado desde el centro Κ hasta los puntos Α, Β, C, entonces los ángulos correspondientes a los puntos Α, Β, C son rectos [Prop. III.18]. Y como los cuatro ángulos del cuadrilátero ΑΜΒΚ son iguales a cuatro rectos, puesto que ΑΜΒΚ se divide en dos triángulos y los ángulos ΚΑΜ, ΚΒΜ son rectos, entonces los ángulos restantes ΑΚΒ, ΑΜΒ son iguales a dos rectos. Pero los ángulos DΕG, DΕF son también iguales a dos rectos [Prop. I.13]; entonces los ángulos ΑΚΒ, ΑΜΒ son iguales a los ángulos DΕG, DΕF, de los cuales ΑΚΒ es igual a DΕG; por tanto, el ángulo restante ΑΜΒ es igual al restante DΕF. De manera semejante, se demostraría que el ángulo ΑΝΒ es también igual al ángulo DFΕ; por tanto, también el ángulo restante MLN es igual al ángulo ΕDF [Prop. I.32]. Luego el triángulo LΜΝ es de ángulos iguales a los del triángulo DΕF; y está circunscrito en torno al círculo ΑΒC.

Por consiguiente, se ha circunscrito en torno al círculo dado un triángulo de ángulos iguales a los del triángulo dado.

Q. E. F.