Inscribir en un círculo dado un triángulo de ángulos iguales a los de un triángulo dado.
Sea ΑΒC el círculo dado y DΕF el triángulo dado .
Así pues, hay que inscribir en el círculo ΑΒC un triángulo de ángulos iguales a los del triángulo DΕF.
Trácese GH tangente al círculo ΑΒC en el punto Α [Cor. Prop. III.16] , y construyase en la recta ΑH y en su punto A el ángulo HΑC igual al ángulo DΕF , y en la recta ΑG y en su punto Α el ángulo GΑΒ igual al ángulo DFΕ [Prop. I.23], y trácese ΒC .
Pues bien, como una recta ΑH toca al círculo ΑΒC, y desde el punto de contacto A hasta el círculo ha sido trazada la recta ΑC, entonces el ángulo HΑC es igual al ángulo ΑΒC en el segmento alterno del círculo [Prop. III.32], Pero el ángulo GΑC es igual al ángulo DΕF; entonces el ángulo ΑΒC es también igual al ángulo DΕF. Por lo mismo, el ángulo ΑCΒ es también igual al ángulo DFΕ; por tanto, el ángulo restante ΒΑC es igual al ángulo restante ΕDF [Prop. I.32].
Por consiguiente, se ha inscrito en el círculo dado un triángulo de ángulos iguales a los del triángulo dado.
Q. E. F.