Si se inscribe un triángulo equilátero en un círculo, el cuadrado del lado del triángulo es el triple del cuadrado del radio del círculo.

Sea ◯ABC el círculo Paso 1 e inscríbase en él el triángulo equilátero △ABC Paso 2. Digo que el cuadrado de un lado del triángulo △ABC es el triple del cuadrado del radio del círculo ◯ABC.

Tómese, pues, D como centro del círculo ◯ABC Paso 3, y, una vez trazada AD prolónguese hasta E Paso 4 y trácese BE Paso 5. Ahora bien, como △ABC es un triángulo equilátero, entonces el arco de circunferencia BEC es la tercera parte de la circunferencia del círculo ◯ABC. Luego el arco de circunferencia BE es la sexta parte de la circunferencia del círculo. Por tanto, la recta BE es el lado de un hexágono; así pues, es igual al radio DE [Cor. Prop. VI.15]. Y como AE = 2DE, AE² = 4ED², es decir BE². Pero AE² = AB² + BE² [Prop. III.31,Prop. I.47] entonces AB² + BE² = 4BE². Luego, AB² = 3BE². Pero BE = DE; por tanto, AB² = 3DE².

Q. E. D.